Какие будут размеры металлической ёмкости, в форме прямоугольного параллелепипеда с открытым верхом и вместимостью
Какие будут размеры металлической ёмкости, в форме прямоугольного параллелепипеда с открытым верхом и вместимостью 270 литров, чтобы минимизировать затраты металла на ее изготовление?
Sverkayuschiy_Pegas 11
Чтобы минимизировать затраты металла на изготовление металлической ёмкости с вместимостью 270 литров в форме прямоугольного параллелепипеда с открытым верхом, необходимо найти размеры, которые обеспечат минимальную площадь поверхности металла.Пусть стороны параллелепипеда имеют длины \(x\), \(y\) и \(z\).
Объем параллелепипеда можно выразить следующим образом:
\[V = x \cdot y \cdot z\]
По условию задачи, \(V = 270\) литров. Теперь необходимо записать выражение для площади поверхности металла. Металл будет использован для всех шести граней параллелепипеда, за исключением верхней грани, так как она открытая.
Площадь всех граней, кроме верхней, будет равна:
\[A = 2xy + 2xz + 2yz\]
При условии, что вместимость равна 270 литров, мы можем выразить одну из переменных через остальные две, используя формулу для объема:
\[z = \frac{270}{xy}\]
Подставляем это выражение для \(z\) в выражение для площади поверхности:
\[A = 2xy + 2x \cdot \frac{270}{xy} + 2y \cdot \frac{270}{xy}\]
Далее, мы можем упростить это выражение, раскрыть скобки и сократить подобные члены:
\[A = 2xy + \frac{540x}{y} + \frac{540y}{x}\]
Чтобы минимизировать площадь поверхности и, следовательно, затраты на металл, мы можем взять производную площади по одной из переменных (например, \(x\)), приравнять ее к нулю и решить уравнение относительно \(x\).
\[A" = 2y - \frac{540x}{y^2} + \frac{540y}{x^2}\]
\[2y - \frac{540x}{y^2} + \frac{540y}{x^2} = 0\]
Чтобы решить это уравнение, сначала уберем знаменатель:
\[2yx^2 - 540x + 540y = 0\]
Теперь решим это уравнение относительно \(x\). Для этого можно использовать квадратное уравнение:
\[x^2 - \frac{540}{2y}x + \frac{540y}{2y} = 0\]
\[x^2 - \frac{270}{y}x + 270 = 0\]
Решив это квадратное уравнение, мы можем найти значения \(x\), а затем, используя выражение \(z = \frac{270}{xy}\), мы найдем соответствующие значения \(y\) и \(z\).
Обратите внимание, что существует два значения \(x\), но только одно из них будет соответствовать минимальным затратам на металл.
Таким образом, размеры, которые обеспечат минимальные затраты металла, могут быть найдены, решив квадратное уравнение и получив значения для \(x\), \(y\) и \(z\).