Постройте график функции, заданной следующим образом: f(x)=x2+2x, если x∈[−4;1], и f(x)=√x+2, если x∈(1;4]. Найдите

Мишка_7795

22

Хорошо, давайте разберем задачу пошагово.

Шаг 1: Построение графика функции
Первым делом необходимо построить график функции f(x). Для этого разделим ось x на несколько интервалов в соответствии с заданными условиями.

Для интервала [-4;1] функция задана формулой f(x) = x^2 + 2x. Для интервала (1;4] функция задана формулой f(x) = √(x+2).

На интервале [-4;1] график функции будет параболой, а на интервале (1;4] - квадратным корнем от функции.

Давайте построим график функции на основании заданных условий.

\[ \text{Диапазон x:} \quad [-4; 1] \cup (1; 4] \]

\[ \text{Функция на интервале [-4;1]:} \quad f(x) = x^2 + 2x \]

\[ \text{Функция на интервале (1;4]:} \quad f(x) = \sqrt{x + 2} \]

Выглядит следующим образом:

\[
\begin{array}{ |c|c| }
\hline
x & f(x) \\
\hline
-4 & 0 \\
-3 & 3 \\
-2 & 0 \\
-1 & -2 \\
0 & 0 \\
1 & \text{не определено} \\
2 & 2 \\
3 & \sqrt{5} \\
4 & \sqrt{6} \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & \text{График функции} \\
\hline
[-4;1] & \text{Парабола} \\
(1;4] & \text{Квадратный корень} \\
\hline
\end{array}
\]

На графике видно, что функция f(x) является параболой на интервале [-4;1] и корнем на интервале (1;4].

Шаг 2: Определение интервалов возрастания и убывания функции
Интервалы возрастания и убывания функции можно определить с помощью производной функции. Чтобы найти производную, необходимо взять производную каждого из участков функции исходя из заданных условий. Давайте найдем производную для каждого из интервалов.

Для интервала [-4;1]:
\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x) = 2x + 2 \]

Для интервала (1;4]:
\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x+2}) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \]

Теперь найдем значения производных для каждого из интервалов:

На интервале [-4;1]:
\[ f"(-4) = 2(-4) + 2 = -6 \]
\[ f"(-3) = 2(-3) + 2 = -4 \]
\[ f"(-2) = 2(-2) + 2 = -2 \]
\[ f"(-1) = 2(-1) + 2 = 0 \]
\[ f"(0) = 2(0) + 2 = 2 \]
\[ f"(1) = \text{не определено} \]

На интервале (1;4]:
\[ f"(2) = \frac{1}{2\sqrt{2+2}} = \frac{1}{4} \]
\[ f"(3) = \frac{1}{2\sqrt{3+2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
\[ f"(4) = \frac{1}{2\sqrt{4+2}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} \]

Теперь определим интервалы возрастания и убывания функции на основании полученных значений производных:

Интервалы возрастания: [-4;-1], [2;4]
Интервалы убывания: [-1;0]

Шаг 3: Определение экстремумов функции и наибольших/наименьших значений
Экстремумы функции (максимумы и минимумы) можно найти путем анализа интервалов возрастания и убывания функции, а также на основе полученных значений функции.

На основе графика и значений функции f(x) можно определить следующие экстремумы и значения функции:

Минимум функции: x = -1, f(-1) = -2
Максимум функции: x = 4, f(4) = √6

Наибольшее значение функции: √6 (на интервале (1;4])
Наименьшее значение функции: -2 (на интервале [-1;0])

Шаг 4: Определение интервалов, где функция имеет постоянный знак
Чтобы определить интервалы, на которых функция имеет постоянный знак, необходимо взять во внимание значения функции на разных интервалах.

С учетом полученных значений функции f(x) на различных интервалах, можно определить следующие интервалы, на которых функция имеет постоянный знак:

Функция положительна на интервале [-4;0] и [1;4]
Функция отрицательна на интервале [-1;1]

Шаг 5: Определение четности функции
Чтобы определить четность функции, взгляните на соотношение значений функции по отношению к оси ординат (ось y). Если значения функции симметричны относительно оси ординат, то функция является четной. Если значения функции не являются симметричными относительно оси ординат, то функция является нечетной.

В данной задаче функция f(x) не является ни четной, ни нечетной. Например, значение функции f(2) не равно значению функции f(-2), поэтому функция не является четной. Также, значение функции f(2) не равно значению функции f(-2), сдвиг по оси x не сохраняет значения функции, что означает, что функция не является нечетной.

Шаг 6: Нули функции и точки пересечения с осями x
Нули функции - это значения x, при которых f(x) равно нулю. Чтобы найти нули функции, приравняем f(x) к нулю и решим уравнение.

На основе нашей функции f(x) = x^2 + 2x и f(x) = √(x+2), найденного графика и полученных значений функции, можно определить следующие нули функции и точки пересечения с осями x:

Нули функции (точки пересечения с осью x):
x = -4
x = 0

Итак, подведем итоги:

- График функции f(x) имеет параболическую форму на интервале [-4;1] и квадратно-корневую форму на интервале (1;4].
- Функция возрастает на интервалах [-4;-1] и [2;4], убывает на интервале [-1;0].
- Минимум функции f(x) равен -2 и достигается при x = -1.
- Максимум функции f(x) равен √6 и достигается при x = 4.
- Функция имеет постоянный знак положительный на интервалах [-4;0] и [1;4] и отрицательный на интервале [-1;1].
- Функция f(x) не является ни четной, ни нечетной.
- Нули функции: x = -4 и x = 0.

Это детальный разбор задачи по построению графика функции и анализу ее свойств. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!