Какие целые числа m и n удовлетворяют уравнению m^2 + 7n^2 =8mn-56? Найдите все такие пары с детальным решением

Zvonkiy_Nindzya

70

Чтобы найти целочисленные значения \(m\) и \(n\), которые удовлетворяют уравнению \(m^2 + 7n^2 = 8mn - 56\), начнем с правой стороны уравнения. Заметим, что правая сторона является четным числом, так как \(8mn\) всегда делится на 2. Таким образом, левая сторона уравнения, то есть \(m^2 + 7n^2\), также должна быть четным числом.

Теперь рассмотрим возможные случаи. Если и \(m\), и \(n\) являются четными числами, то \(m^2\) и \(7n^2\) будут четными числами, а их сумма также будет четной. Однако, в таком случае \(8mn\) также будет четным числом, поскольку оба множителя являются четными числами. Значит, уравнение будет иметь следующее вид: четное число = четное число - четное число, а это невозможно.

Теперь предположим, что и \(m\), и \(n\) являются нечетными числами. Если так, то \(m^2\) и \(7n^2\) будут нечетными числами. Сумма нечетных чисел также будет нечетным числом. В этом случае \(8mn\) будет также нечетным числом, поскольку оба множителя являются нечетными числами. Значит, уравнение будет иметь следующее вид: нечетное число = нечетное число - нечетное число, а это также невозможно.

Остается единственный вариант: \(m\) - четное число, а \(n\) - нечетное число, или \(m\) - нечетное число, а \(n\) - четное число.

Разберем каждый случай.

1. Пусть \(m\) - четное число, а \(n\) - нечетное число. Обозначим \(m = 2a\), где \(a\) - целое число. Тогда подставим это значение в исходное уравнение:
\[ (2a)^2 + 7n^2 = 8(2a)n - 56 \]
\[ 4a^2 + 7n^2 = 16an - 56 \]
Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:
\[ a^2 + \left(\frac{7n^2}{4}\right) = 4an - 14 \]
Так как левая сторона уравнения \(a^2 + \left(\frac{7n^2}{4}\right)\) является целым числом, а правая сторона \(4an - 14\) - нет, уравнение не имеет решений для этого случая.

2. Пусть \(m\) - нечетное число, а \(n\) - четное число. Обозначим \(n = 2b\), где \(b\) - целое число. Тогда подставим это значение в исходное уравнение:
\[ m^2 + 7(2b)^2 = 8m(2b) - 56 \]
\[ m^2 + 28b^2 = 16mb - 56 \]
Уравнение имеет вид \(m^2 - 16mb + 28b^2 = -56\).

Теперь воспользуемся методом завершения квадрата. Добавим и вычтем \(2 \cdot 2 \cdot 4b^2\) в левую часть уравнения, чтобы превратить её в полный квадрат:
\[ m^2 - 16mb + 28b^2 + 2 \cdot 2 \cdot 4b^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4b^2 = -56 \]
\[ m^2 - 16mb + 32b^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4b^2 = -56 \]
\[ (m - 8b)^2 - 16b^2 = -56 \]
\[ (m - 8b)^2 = 16b^2 - 56 \]
\[ (m - 8b)^2 = 16(b^2 - 4) \]

Перепишем уравнение в более простой форме:
\[ (m - 8b)^2 = 16(b - 2)(b + 2) \]

Мы знаем, что \(b - 2\) и \(b + 2\) являются соседними числами. А также, чтобы квадрат \(m - 8b\) был равен произведению двух чисел, \(b - 2\) и \(b + 2\), само число \(b\) должно быть четным. Поэтому мы представляем \(b = 2c\), где \(c\) - целое число:

\[ (m - 8(2c))^2 = 16(2c - 2)(2c + 2) \]
\[ (m - 16c)^2 = 16(4c - 4) \]
\[ (m - 16c)^2 = 64c - 64 \]
\[ (m - 16c)^2 = 64(c - 1) \]

Теперь у нас есть квадрат одной переменной \(m - 16c\) равный произведению другой переменной \(c - 1\) и числа 64.

Допустим, \(c - 1 = k\), где \(k\) - целое число:

\[ (m - 16c)^2 = 64k \]
\[ m - 16c = \pm \sqrt{64k} \]
\[ m = 16c \pm 8\sqrt{k} \]

Таким образом, мы получили общие решения для \(m\) и \(n\), где \(m = 16c \pm 8\sqrt{k}\) и \(n = 4c\), где \(c\) и \(k\) - целые числа.

Это - общие шаги для решения данной проблемы. Для каждого значения \(k\) вы можете подставить его в предыдущее уравнение и получить соответствующие значения \(m\) и \(n\). Например, при \(k = 0\) мы получаем \(m = 16c\) и \(n = 4c\). При \(k = 1\) мы получаем \(m = 16c \pm 8\) и \(n = 4c\). И так далее.

Пожалуйста, обратите внимание, что в зависимости от требований задачи или контекста определены значения \(m\) и \(n\), при которых уравнение имеет решение. Таким образом, множество решений будет зависеть от точных требований задачи.