Какие целые числа m и n удовлетворяют уравнению m^2 + 7n^2 =8mn-56? Найдите все такие пары с детальным решением

Zvonkiy_Nindzya

70

Чтобы найти целочисленные значения $m$ и $n$, которые удовлетворяют уравнению $m^2+7n^2=8mn-56$, начнем с правой стороны уравнения. Заметим, что правая сторона является четным числом, так как $8mn$ всегда делится на 2. Таким образом, левая сторона уравнения, то есть $m^2+7n^2$, также должна быть четным числом.

Теперь рассмотрим возможные случаи. Если и $m$, и $n$ являются четными числами, то $m^2$ и $7n^2$ будут четными числами, а их сумма также будет четной. Однако, в таком случае $8mn$ также будет четным числом, поскольку оба множителя являются четными числами. Значит, уравнение будет иметь следующее вид: четное число = четное число - четное число, а это невозможно.

Теперь предположим, что и $m$, и $n$ являются нечетными числами. Если так, то $m^2$ и $7n^2$ будут нечетными числами. Сумма нечетных чисел также будет нечетным числом. В этом случае $8mn$ будет также нечетным числом, поскольку оба множителя являются нечетными числами. Значит, уравнение будет иметь следующее вид: нечетное число = нечетное число - нечетное число, а это также невозможно.

Остается единственный вариант: $m$ - четное число, а $n$ - нечетное число, или $m$ - нечетное число, а $n$ - четное число.

Разберем каждый случай.

1. Пусть $m$ - четное число, а $n$ - нечетное число. Обозначим $m=2a$, где $a$ - целое число. Тогда подставим это значение в исходное уравнение:
$$(2a{)}^2+7n^2=8(2a)n-56$$
$$4a^2+7n^2=16an-56$$
Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:
$$a^2+\left(\frac{7n^2}{4}\right)=4an-14$$
Так как левая сторона уравнения $a^2+\left(\frac{7n^2}{4}\right)$ является целым числом, а правая сторона $4an-14$ - нет, уравнение не имеет решений для этого случая.

2. Пусть $m$ - нечетное число, а $n$ - четное число. Обозначим $n=2b$, где $b$ - целое число. Тогда подставим это значение в исходное уравнение:
$$m^2+7(2b{)}^2=8m(2b)-56$$
$$m^2+28b^2=16mb-56$$
Уравнение имеет вид $m^2-16mb+28b^2=-56$.

Теперь воспользуемся методом завершения квадрата. Добавим и вычтем $2\cdot 2\cdot 4b^2$ в левую часть уравнения, чтобы превратить её в полный квадрат:
$$m^2-16mb+28b^2+2\cdot 2\cdot 4b^2-2\cdot 2\cdot 4b^2=-56$$
$$m^2-16mb+32b^2-2\cdot 2\cdot 4b^2=-56$$
$$(m-8b{)}^2-16b^2=-56$$
$$(m-8b{)}^2=16b^2-56$$
$$(m-8b{)}^2=16(b^2-4)$$

Перепишем уравнение в более простой форме:
$$(m-8b{)}^2=16(b-2)(b+2)$$

Мы знаем, что $b-2$ и $b+2$ являются соседними числами. А также, чтобы квадрат $m-8b$ был равен произведению двух чисел, $b-2$ и $b+2$, само число $b$ должно быть четным. Поэтому мы представляем $b=2c$, где $c$ - целое число:

$$(m-8(2c){)}^2=16(2c-2)(2c+2)$$
$$(m-16c{)}^2=16(4c-4)$$
$$(m-16c{)}^2=64c-64$$
$$(m-16c{)}^2=64(c-1)$$

Теперь у нас есть квадрат одной переменной $m-16c$ равный произведению другой переменной $c-1$ и числа 64.

Допустим, $c-1=k$, где $k$ - целое число:

$$(m-16c{)}^2=64k$$
$$m-16c=\pm \sqrt{64k}$$
$$m=16c\pm 8\sqrt{k}$$

Таким образом, мы получили общие решения для $m$ и $n$, где $m=16c\pm 8\sqrt{k}$ и $n=4c$, где $c$ и $k$ - целые числа.

Это - общие шаги для решения данной проблемы. Для каждого значения $k$ вы можете подставить его в предыдущее уравнение и получить соответствующие значения $m$ и $n$. Например, при $k=0$ мы получаем $m=16c$ и $n=4c$. При $k=1$ мы получаем $m=16c\pm 8$ и $n=4c$. И так далее.

Пожалуйста, обратите внимание, что в зависимости от требований задачи или контекста определены значения $m$ и $n$, при которых уравнение имеет решение. Таким образом, множество решений будет зависеть от точных требований задачи.