Какие целые значения k делают значение выражения k^2+2k+6/k-3 целым числом?

Дружище

53

Чтобы определить, какие значения \( k \) делают выражение \( \frac{{k^2 + 2k + 6}}{{k - 3}} \) целым числом, мы можем провести анализ данного выражения.

Для начала, давайте разделим выражение \( k^2 + 2k + 6 \) на \( k - 3 \) используя долгое деление:

\[
\begin{{array}}{{c|c}}
k+5 & \begin{{array}}{{c}}
k+2 \\
\underline{{-k - 3}} \\
5k + 9 \\
\underline{{-5k - 15}} \\
24
\end{{array}}
\end{{array}}
\]

Итак, мы получаем, что \( \frac{{k^2 + 2k + 6}}{{k - 3}} = k + 5 + \frac{{24}}{{k - 3}} \).

Теперь, чтобы выражение \( \frac{{k^2 + 2k + 6}}{{k - 3}} \) было целым числом, необходимо, чтобы \( \frac{{24}}{{k - 3}} \) также было целым числом.

Заметим, что 24 имеет несколько делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Чтобы получить целое число при делении 24 на \( k - 3 \), значение \( k - 3 \) должно быть одним из делителей 24.

Подставляя различные значения делителей 24 вместо \( k - 3 \), мы можем определить, какие значения \( k \) делают выражение \( \frac{{k^2 + 2k + 6}}{{k - 3}} \) целым числом:

1) При \( k - 3 = 1 \), получаем \( k = 4 \).
2) При \( k - 3 = 2 \), получаем \( k = 5 \).
3) При \( k - 3 = 3 \), получаем \( k = 6 \).
4) При \( k - 3 = 4 \), получаем \( k = 7 \).
5) При \( k - 3 = 6 \), получаем \( k = 9 \).
6) При \( k - 3 = 8 \), получаем \( k = 11 \).
7) При \( k - 3 = 12 \), получаем \( k = 15 \).
8) При \( k - 3 = 24 \), получаем \( k = 27 \).

Таким образом, значения \( k \), которые делают выражение \( \frac{{k^2 + 2k + 6}}{{k - 3}} \) целым числом, равны 4, 5, 6, 7, 9, 11, 15 и 27.