Какие числа t соответствуют точкам, принадлежащим дуге mn (где m = 2п/3 и n = п/4) на числовой окружности? Пожалуйста

Orel

49

Чтобы найти числа t, соответствующие точкам на дуге mn на числовой окружности, нам необходимо знать значения углов m и n, их соотношение и как они связаны с числами t.

Для начала, нарисуем числовую окружность:

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node [above] {$y$};
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node [right] {$x$};
\draw (0,0) circle (2.5cm);
\draw (0,0) -- (-150:2.5cm) node[midway, left] {$r$};
\draw[fill] (-150:2.5cm) circle [radius=0.05];
\draw[fill] (-90:2.5cm) circle [radius=0.05];
\node at (-90:2.5cm) [below right] {$n$};
\draw[fill] (-120:2.5cm) circle [radius=0.05];
\node at (-120:2.5cm) [left] {$m$};
\draw (-3,0) node {$\bullet$};
\draw[->] (-3,-0.2) -- (-2,-0.2) node [midway,below] {1};
\draw[->] (-3,0.2) -- (-1,0.2) node [midway,above] {-1};
\end{tikzpicture}
\]

Здесь мы видим окружность с центром в начале координат, радиусом \(r\) и углами \(m\) и \(n\), которые нам даны. Чтобы найти точки на дуге mn, нам нужно знать их соответствующие значения т. В данной задаче центр окружности находится в начале координат, поэтому ось абсцисс также является радиусом окружности. Точка \(n\) находится на угле \(\frac{\pi}{4}\), а точка \(m\) находится на угле \(\frac{2\pi}{3}\).

Теперь давайте найдем значения координат \(x\) и \(y\) для точек \(m\) и \(n\). Для удобства, представим, что радиус окружности \(r\) равен 1.

Координаты точки \(m\) с углом \(\frac{2\pi}{3}\) будут:

\[
x = r \cos(m) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}
\]
\[
y = r \sin(m) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Координаты точки \(n\) с углом \(\frac{\pi}{4}\) будут:

\[
x = r \cos(n) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
y = r \sin(n) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, итоговые координаты точек \(m\) и \(n\) будут:

\[
m\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
\]
\[
n\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
\]

Для нахождения значений числа \(t\), они соответствуют значениям \(x\) на числовой окружности. Таким образом, чтобы найти значения \(t\) для точек на дуге \(mn\), мы просто берем значение \(x\) для каждой точки:

\[
t_m = -\frac{1}{2}
\]
\[
t_n = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Надеюсь, что этот подробный ответ помог вам понять, как найти числа \(t\) для точек на дуге \(mn\) на числовой окружности. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!