Какие числа x и y удовлетворяют уравнению ya+b= -9a+xb, при условии, что векторы a и b не коллинеарны?

Солнечный_Шарм

12

Чтобы найти числа x и y, которые удовлетворяют уравнению \(ya+b= -9a+xb\), условие о том, что векторы a и b не коллинеарны необходимо учесть.

Для начала, у нас есть два неизвестных параметра x и y, и два вектора a и b. Давайте разберемся с этим пошагово.

1. Векторы a и b не коллинеарны, значит их скалярное произведение не равно нулю.

2. Скалярное произведение векторов a и b определяется следующим образом: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}| \cdot \cos(\theta)\), где \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - длины векторов a и b соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами a и b.

3. В данной задаче для упрощения обозначений предположим, что векторы a и b являются двумерными векторами. То есть: \(a = (a_1, a_2)\) и \(b = (b_1, b_2)\).

4. Скалярное произведение в данном случае будет иметь вид: \(a_1b_1 + a_2b_2\).

5. Скалярное произведение a и b не равно нулю, поэтому \(a_1b_1 + a_2b_2 \neq 0\).

6. Вернемся к исходному уравнению \(ya+b= -9a+xb\). Заменим векторы a и b на их координаты: \(y(a_1, a_2) + (b_1, b_2) = -9(a_1, a_2) + x(b_1, b_2)\).

7. Приведем уравнение к виду, где слева останутся только переменные y и x: \(a_1y + b_1 = -9a_1 + bx\) и \(a_2y + b_2 = -9a_2 + bx\).

8. Заметим, что уравнения \(-9a_1 + bx = a_1y + b_1\) и \(-9a_2 + bx = a_2y + b_2\) имеют одинаковые правые части, и поэтому могут быть равносильно записаны следующим образом:
\[-9a_1 + bx = a_1y + b_1 = k\]
\[-9a_2 + bx = a_2y + b_2 = k\],
где k обозначает некоторую константу.

10. Выразим из первого уравнения переменную x: \(x = \frac{a_1y + b_1 + 9a_1}{b}\).

11. Подставим полученное значение x во второе уравнение: \(-9a_2 + b\cdot\frac{a_1y + b_1 + 9a_1}{b} = a_2y + b_2 = k\).

12. Упростим уравнение, избавившись от знаменателя: \(-9a_2 + a_1y + b_1 + 9a_1 = a_2y + b_2 = k\).

13. Получили уравнение, где есть только переменная y. Решим его относительно y:
\[a_1y - a_2y = k - b_1 - 9a_1 + 9a_2\],
\[(a_1 - a_2)y = k - (b_1 + 9a_1 - 9a_2)\],
\[y = \frac{k - (b_1 + 9a_1 - 9a_2)}{a_1 - a_2}\].

14. Теперь, когда мы нашли значение y, заменим его в исходном уравнении для нахождения x:
\[x = \frac{a_1y + b_1 + 9a_1}{b}\].

Итак, мы получили выражения для x и y, которые удовлетворяют уравнению \(ya+b= -9a+xb\), при условии, что векторы a и b не коллинеарны. Не забудьте подставить соответствующие значения a и b в полученные формулы для получения конкретных чисел x и y.