Какие длины дуг на описанной окружности треугольника, его вершины делят, если сторона треугольника равна 5

Valeriya

70

Для начала, нам нужно установить радиус описанной окружности. Для треугольников, у которых стороны равны \(a\), \(b\) и \(c\), радиус окружности описанной вокруг треугольника можно найти по формуле:

\[R = \frac{abc}{4A}\]

где \(A\) - это площадь треугольника. Давайте сначала найдем площадь треугольника. Поскольку у нас есть сторона \(a\), мы можем использовать формулу для площади треугольника, зная две стороны и угол между ними:

\[A = \frac{1}{2}ab\sin(C)\]

где \(C\) - это угол между сторонами \(a\) и \(b\). Давайте найдем площадь:

\[A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(45)\]

Сначала мы умножаем сторону \(a\) на сторону \(b\), затем умножаем результат на синус угла \(C\), и, наконец, умножаем результат на половину. Вычислим:

\[A = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[A = \frac{25\sqrt{2}}{4}\]

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника, мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности:

\[R = \frac{abc}{4A}\]

Вставим значения и решим:

\[R = \frac{5 \cdot 5 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{4}}{4 \cdot \frac{25\sqrt{2}}{4}}\]

\[R = \frac{25\sqrt{2}}{4}\]

Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{25\sqrt{2}}{4}\) см.

Теперь, чтобы найти длины дуг, которые вершины треугольника делят на описанной окружности, нам нужно вспомнить, что длина дуги на окружности измеряется в радианах. Мы можем найти эти углы, зная углы треугольника.

Так как углы смежные прилежащие, и их сумма равна 45 + 105 = 150 градусов, тогда для нахождения угла в радианах, необходимо разделить на 180 и умножить на \(\pi\):

\[\theta_1 = \frac{45}{180} \cdot \pi\]

\[\theta_2 = \frac{105}{180} \cdot \pi\]

Расчитаем значения:

\[\theta_1 = \frac{45}{180} \cdot \pi = \frac{\pi}{4}\]

\[\theta_2 = \frac{105}{180} \cdot \pi = \frac{7\pi}{12}\]

Теперь мы можем найти длины дуг. Формула для длины дуги \(l\) с углом \(\theta\) и радиусом \(R\) на окружности:

\[l = R \cdot \theta\]

Применим эту формулу для каждого угла:

\[l_1 = \frac{25\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{25\pi\sqrt{2}}{16}\]

\[l_2 = \frac{25\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{7\pi}{12} = \frac{175\pi\sqrt{2}}{48}\]

Таким образом, длина дуги, которую вершины треугольника делят на описанной окружности, равна \(\frac{25\pi\sqrt{2}}{16}\) см и \(\frac{175\pi\sqrt{2}}{48}\) см для углов 45 и 105 градусов соответственно.