Какие графики изображены на координатной плоскости? Какие прямые параллельны и перпендикулярны? Где они пересекаются?

Snezhka

61

Для начала рассмотрим каждый из графиков на координатной плоскости:

1. График a. На этом графике изображена прямая линия, которая проходит через точки (2, 3) и (-2, 1). Чтобы определить, к какой функции соотносится эта прямая, воспользуемся формулой уравнения прямой вида \(y = kx + m\), где \(k\) - коэффициент наклона прямой, а \(m\) - точка пересечения с осью ординат (y-осью).

Посчитаем коэффициент наклона \(k\):
\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{1 - 3}}{{-2 - 2}} = \frac{{-2}}{{-4}} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат (то есть точку, где прямая пересекает y-ось):
\[m = y - kx = 1 - \frac{1}{2} \cdot (-2) = 1 + 1 = 2\]

Таким образом, уравнение прямой a имеет вид:
\[y = \frac{1}{2}x + 2\]

2. График c. На этом графике также изображена прямая линия, которая проходит через точки (0, 4) и (-3, 1). Применяя ту же формулу, получим:

\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{1 - 4}}{{-3 - 0}} = \frac{{-3}}{{-3}} = 1\]
\[m = y - kx = 4 - 1 \cdot 0 = 4\]

Уравнение прямой c имеет вид:
\[y = x + 4\]

3. График d. Этот график показывает прямую линию, которая проходит через точки (-1, -3) и (3, 3). Повторно подставим в формулу:

\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{3 - (-3)}}{{3 - (-1)}} = \frac{{6}}{{4}} = \frac{{3}}{{2}}\]
\[m = y - kx = -3 - \frac{3}{2} \cdot (-1) = -3 + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}\]

Таким образом, уравнение прямой d имеет вид:
\[y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\]

Теперь давайте рассмотрим вопрос о параллельности и перпендикулярности прямых.
Прямые a и c. Чтобы определить, являются ли две прямые параллельными, необходимо сравнить их коэффициенты наклона (\(k_1\) и \(k_2\)). В этом случае \(k_1 = \frac{1}{2}\) и \(k_2 = 1\). Поскольку эти коэффициенты не равны, прямые a и c не являются параллельными.

Прямые a и d. Сравнивая их коэффициенты наклона (\(k_1 = \frac{1}{2}\) и \(k_3 = \frac{3}{2}\)), видим, что они также не являются параллельными.

Прямые c и d. В данном случае \(k_2 = 1\) и \(k_3 = \frac{3}{2}\), опять же, эти коэффициенты не равны, следовательно, прямые c и d тоже не параллельны.

Прямые a и c. Чтобы определить, являются ли прямые перпендикулярными, нужно проверить, являются ли их коэффициенты наклона, взятые с противоположными знаками, обратными числами. В нашем случае \(k_1 = \frac{1}{2}\) и \(k_2 = 1\), поэтому эти прямые не являются перпендикулярными.

Прямые a и d. Сравнивая их коэффициенты наклона (\(k_1 = \frac{1}{2}\) и \(k_3 = \frac{3}{2}\)), видим, что они также не являются перпендикулярными.

Прямые c и d. Здесь \(k_2 = 1\) и \(k_3 = \frac{3}{2}\), их коэффициенты наклона не являются обратными числами, поэтому эти прямые не являются перпендикулярными.

Наконец, найдем точку пересечения прямых. Для этого приравняем уравнения двух прямых друг к другу и решим полученное уравнение:

Для прямых a и c:
\[\frac{1}{2}x + 2 = x + 4\]
\[\frac{1}{2}x - x = 4 - 2\]
\[-\frac{1}{2}x = 2\]
\[x = -4\]

Подставим значение x в любое из уравнений, например, в уравнение прямой a:
\[y = \frac{1}{2}(-4) + 2 = -2 + 2 = 0\]

Таким образом, прямые a и c пересекаются в точке (-4, 0).

Для прямых a и d:
\[\frac{1}{2}x + 2 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\]
\[\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}x = -\frac{3}{2} - 2\]
\[-\frac{1}{2}x = -\frac{7}{2}\]
\[x = 7\]

Подставим значение x в уравнение прямой a:
\[y = \frac{1}{2} \cdot 7 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 7 + \frac{4}{2} = \frac{7}{2} + \frac{4}{2} = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}\]

Таким образом, прямые a и d пересекаются в точке (7, 5.5).

Для прямых c и d:
\[x + 4 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}\]
\[x - \frac{3}{2}x = -\frac{3}{2} - 4\]
\[\frac{1}{2}x = -\frac{11}{2}\]
\[x = -11\]

Подставим значение x в уравнение прямой c:
\[y = -11 + 4 = -7\]

Таким образом, прямые c и d пересекаются в точке (-11, -7).

На этом мы завершаем решение задачи о графиках. Надеюсь, объяснения и пошаговые решения были понятными. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.