Какие канонические уравнения определяют прямую, которая проходит через точки m1 (3; 2; 5) и m2 (-1; 3; -2)?

Егор

49

Чтобы найти каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, мы можем использовать следующий алгоритм:

Шаг 1: Найдите вектор направления прямой, вычитая координаты одной точки из координат другой точки.
Шаг 2: Используя полученный вектор направления и координаты одной из точек, составьте каноническое уравнение прямой.

Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Найдем вектор направления прямой, вычитая координаты точки \(m_1(3, 2, 5)\) из координат точки \(m_2(-1, 3, -2)\):

\[
\vec{v} = \vec{m_2} - \vec{m_1} = (-1, 3, -2) - (3, 2, 5) = (-1-3, 3-2, -2-5) = (-4, 1, -7)
\]

Таким образом, вектор направления прямой равен \((-4, 1, -7)\).

Шаг 2: Составим каноническое уравнение прямой, используя вектор направления и координаты одной из точек. Давайте возьмем точку \(m_1(3, 2, 5)\):

\[
\frac{{x - x_1}}{{-4}} = \frac{{y - y_1}}{{1}} = \frac{{z - z_1}}{{-7}}
\]

Подставим значения координат точки \(m_1\):

\[
\frac{{x - 3}}{{-4}} = \frac{{y - 2}}{{1}} = \frac{{z - 5}}{{-7}}
\]

Таким образом, каноническое уравнение прямой, проходящей через точки \(m_1(3, 2, 5)\) и \(m_2(-1, 3, -2)\), имеет вид:

\[
\frac{{x - 3}}{{-4}} = \frac{{y - 2}}{{1}} = \frac{{z - 5}}{{-7}}
\]

Это уравнение позволяет определить все точки, лежащие на данной прямой.