Какие композиции можно составить для функций f(x) и g(x)? Каковы их области определения и множества значений?

Skvoz_Les_5477

56

Для начала, давайте рассмотрим, что такое композиция функций. Композиция двух функций f(x) и g(x) обозначается как \(f \circ g(x)\) и представляет собой последовательное применение функции g(x) к результату функции f(x).

Для определения композиции функций, мы сначала подставляем значение x в функцию g(x), а затем полученный результат подставляем в функцию f(x).

Область определения композиции функций зависит от областей определения их составляющих функций.

Допустим, у нас есть функции f(x) и g(x), области определения которых обозначены как Df и Dg соответственно. Тогда область определения композиции функций f \circ g(x) состоит из тех значений x, для которых g(x) принадлежит Df, то есть x должно лежать в пересечении областей определения Dg и Df.

Теперь рассмотрим множество значений композиции функций. Множество значений композиции \(f \circ g(x)\) представляет собой все значения, которые можно получить путем применения функции f(x) к результату функции g(x). Оно зависит от множества значений функции g(x). Если все значения функции g(x) принадлежат множеству значений функции f(x), то множество значений композиции будет совпадать с множеством значений функции f(x).

Давайте рассмотрим конкретный пример, чтобы проиллюстрировать все эти понятия.

Предположим, у нас есть две функции: f(x) = 2x и g(x) = x + 3.

Область определения функции f(x) - это весь вещественный числовой ряд, так как умножение на любое число x всегда возможно.

Область определения функции g(x) - также весь вещественный числовой ряд, так как сложение любого числа с x также всегда возможно.

Теперь мы можем рассмотреть композицию функций \(f \circ g(x)\).

\(f \circ g(x)\) = f(g(x)) = 2(x + 3) = 2x + 6

Область определения композиции функций будет совпадать с областью определения функции g(x), то есть это также весь вещественный числовой ряд.

Множество значений композиции функций будет совпадать с множеством значений функции f(x), которое также является вещественным числовым рядом.

Итак, мы можем составить композицию функций \(f \circ g(x) = 2x + 6\) с областью определения и множеством значений, равными вещественному числовому ряду.