Какие координаты имеет точка О в прямоугольной системе координат, если задан угол α = 60° между лучом

Денис

45

Давайте решим задачу. У нас есть точка O, которая находится в прямоугольной системе координат. Мы знаем, что угол α между лучом OA и положительной полуосью Ox равен 60°, а длина отрезка OA равна $a$.

Первым шагом мы можем представить данный угол и отрезок в виде треугольника OAB, где точка B находится на положительной полуоси Ox.

Так как у нас имеется прямоугольная система координат, мы знаем, что точка B будет иметь координаты (a, 0), так как лежит на положительной полуоси Ox. Точка O, по которой мы ищем координаты, будет лежать где-то между началом координат (0, 0) и точкой B.

Чтобы определить координаты точки O, нам нужно знать значения координат O по осям Ox и Oy. Обозначим координату O по оси Ox как $x$, и координату O по оси Oy как $y$.

Теперь мы можем разбить луч OA на две составляющие — по оси Ox и по оси Oy — с помощью проекций. Заметим, что первая составляющая, проекция по оси Ox, будет равна $x$ (так как это значение координаты O по оси Ox), а вторая составляющая, проекция по оси Oy, будет равна $y$ (так как это значение координаты O по оси Oy).

Так как у нас имеется прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти связь между $x$, $y$ и $a$.

В треугольнике OAB угол между гипотенузой и катетом равен 90°. У нас задан угол α между лучом OA и положительной полуосью Ox, который равен 60°. Следовательно, у него есть дополнительный угол BAC, который равен 90° - 60° = 30°.

Мы знаем, что тангенс угла BAC равен отношению противоположенной стороны (то есть $y$) к прилежащей стороне (то есть $x$):

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{y}{x}$$

Мы также можем использовать основное тригонометрическое соотношение для тангенса:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Теперь мы можем записать уравнение:

$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{y}{x}$$

Мы также можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OAB:

$$a^2=x^2+y^2$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{y}{x}$$
$$a^2=x^2+y^2$$

Мы можем решить эту систему уравнений, выполнив следующие шаги:

1. Решим первое уравнение относительно $y$:
$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{y}{x}$$
$$y=\frac{x}{\sqrt{3}}$$

2. Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение:
$a^2=x^2+{\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}^2$

3. Распишем второе уравнение:
$a^2=x^2+\frac{x^2}{3}$
$a^2=\frac{4x^2}{3}$

4. Упростим уравнение, умножив обе его стороны на 3:
$3a^2=4x^2$

5. Разделим обе стороны уравнения на 4:
$\frac{3a^2}{4}=x^2$

6. Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
$x=\pm \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$

Таким образом, мы получили два возможных значения $x$ или координаты O по оси Ox.

Возвращаясь к первому уравнению, мы можем подставить полученные значения $x$ и найти соответствующие значения $y$:

$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{y}{\pm \sqrt{\frac{3a^2}{4}}}$$

Мы можем упростить это уравнение, умножив обе его стороны на $\pm \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$:

$$y=\pm \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$y=\pm \frac{a}{2}$$

Теперь у нас есть два возможных значения $y$ или координаты O по оси Oy.

Таким образом, точка O может иметь две набора координат: ( $\sqrt{\frac{3a^2}{4}}$, $\frac{a}{2}$ ) и ( - $\sqrt{\frac{3a^2}{4}}$, - $\frac{a}{2}$ ).

Обратите внимание, что эти значения получены с использованием положительного значения $a$. Если в задаче указывается отрицательное значение $a$, следует использовать соответствующие отрицательные значения координат.

Надеюсь, эта детальная разборка задачи помогла вам понять, как найти координаты точки О в прямоугольной системе координат при заданных условиях. Если у вас возникли вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!