Какие координаты имеет точка О в прямоугольной системе координат, если задан угол α = 60° между лучом

Денис

45

Давайте решим задачу. У нас есть точка O, которая находится в прямоугольной системе координат. Мы знаем, что угол α между лучом OA и положительной полуосью Ox равен 60°, а длина отрезка OA равна \(a\).

Первым шагом мы можем представить данный угол и отрезок в виде треугольника OAB, где точка B находится на положительной полуоси Ox.

Так как у нас имеется прямоугольная система координат, мы знаем, что точка B будет иметь координаты (a, 0), так как лежит на положительной полуоси Ox. Точка O, по которой мы ищем координаты, будет лежать где-то между началом координат (0, 0) и точкой B.

Чтобы определить координаты точки O, нам нужно знать значения координат O по осям Ox и Oy. Обозначим координату O по оси Ox как \(x\), и координату O по оси Oy как \(y\).

Теперь мы можем разбить луч OA на две составляющие — по оси Ox и по оси Oy — с помощью проекций. Заметим, что первая составляющая, проекция по оси Ox, будет равна \(x\) (так как это значение координаты O по оси Ox), а вторая составляющая, проекция по оси Oy, будет равна \(y\) (так как это значение координаты O по оси Oy).

Так как у нас имеется прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти связь между \(x\), \(y\) и \(a\).

В треугольнике OAB угол между гипотенузой и катетом равен 90°. У нас задан угол α между лучом OA и положительной полуосью Ox, который равен 60°. Следовательно, у него есть дополнительный угол BAC, который равен 90° - 60° = 30°.

Мы знаем, что тангенс угла BAC равен отношению противоположенной стороны (то есть \(y\)) к прилежащей стороне (то есть \(x\)):

\[\tan(30^\circ) = \frac{y}{x}\]

Мы также можем использовать основное тригонометрическое соотношение для тангенса:

\[\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Теперь мы можем записать уравнение:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{y}{x}\]

Мы также можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OAB:

\[a^2 = x^2 + y^2\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{y}{x}\]
\[a^2 = x^2 + y^2\]

Мы можем решить эту систему уравнений, выполнив следующие шаги:

1. Решим первое уравнение относительно \(y\):
\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{y}{x}\]
\[y = \frac{x}{\sqrt{3}}\]

2. Подставим найденное значение \(y\) во второе уравнение:
\(a^2 = x^2 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\)

3. Распишем второе уравнение:
\(a^2 = x^2 + \frac{x^2}{3}\)
\(a^2 = \frac{4x^2}{3}\)

4. Упростим уравнение, умножив обе его стороны на 3:
\(3a^2 = 4x^2\)

5. Разделим обе стороны уравнения на 4:
\(\frac{3a^2}{4} = x^2\)

6. Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\(x = \pm \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\)

Таким образом, мы получили два возможных значения \(x\) или координаты O по оси Ox.

Возвращаясь к первому уравнению, мы можем подставить полученные значения \(x\) и найти соответствующие значения \(y\):

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{y}{\pm \sqrt{\frac{3a^2}{4}}}\]

Мы можем упростить это уравнение, умножив обе его стороны на \(\pm \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\):

\[y = \pm \sqrt{\frac{3a^2}{4}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\]
\[y = \pm \frac{a}{2}\]

Теперь у нас есть два возможных значения \(y\) или координаты O по оси Oy.

Таким образом, точка O может иметь две набора координат: ( \(\sqrt{\frac{3a^2}{4}}\), \(\frac{a}{2}\) ) и ( - \(\sqrt{\frac{3a^2}{4}}\), - \(\frac{a}{2}\) ).

Обратите внимание, что эти значения получены с использованием положительного значения \(a\). Если в задаче указывается отрицательное значение \(a\), следует использовать соответствующие отрицательные значения координат.

Надеюсь, эта детальная разборка задачи помогла вам понять, как найти координаты точки О в прямоугольной системе координат при заданных условиях. Если у вас возникли вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!