Какие координаты точки пересечения у двух перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы и через точку

Kamen

30

Для решения этой задачи, давайте сначала определим уравнения прямых, проходящих через фокусы гиперболы и через точку \( а(-1; 6) \).

Первая прямая проходит через левый фокус гиперболы \( F \), который мы обозначим как \( F_1 \), и точку \( а(-1; 6) \). Координаты левого фокуса гиперболы \( F_1 \) мы предположим, что равны (-c, 0), где c - расстояние от центра гиперболы до фокусов. Таким образом, \( F_1 = (-c, 0) \).

Уравнение первой прямой можно представить в виде: \( y = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1) + y_1 \).

Подставляя координаты \( а(-1; 6) \) и \( F_1 \) в уравнение прямой, получим: \( y = \frac{{6 - 0}}{{-1 - (-c)}}(x + 1) + 6 \).

Вторая прямая проходит через правый фокус гиперболы \( F \), который мы обозначим как \( F_2 \), и точку \( а(-1; 6) \). Координаты правого фокуса гиперболы \( F_2 \) можно предположить, что равны (c, 0), где c - расстояние от центра гиперболы до фокусов. Таким образом, \( F_2 = (c, 0) \).

Уравнение второй прямой можно представить в виде: \( y = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1) + y_1 \).

Подставляя координаты \( а(-1; 6) \) и \( F_2 \) в уравнение прямой, получим: \( y = \frac{{6 - 0}}{{-1 - c}}(x + 1) + 6 \).

Теперь у нас есть два уравнения прямых, проходящих через фокусы гиперболы и через точку \( а(-1; 6) \):

1) \( y = \frac{{6 - 0}}{{-1 - (-c)}}(x + 1) + 6 \)
2) \( y = \frac{{6 - 0}}{{-1 - c}}(x + 1) + 6 \)

Так как эти прямые являются перпендикулярными, их угловые коэффициенты должны быть обратно пропорциональны. Из этих уравнений мы можем найти угловые коэффициенты для каждой прямой.

Угловой коэффициент первой прямой равен \( \frac{{6 - 0}}{{-1 - (-c)}} = 6 \).

Угловой коэффициент второй прямой равен \( \frac{{6 - 0}}{{-1 - c}} = -6 \).

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

1) \( y = 6x + 6c - 6 \)
2) \( y = -6x + 6c + 6 \)

Теперь мы можем найти координаты точки пересечения, решив эту систему уравнений. Для этого мы приравниваем \( у \) в обоих уравнениях и решаем относительно \( х \):

\( 6x + 6c - 6 = -6x + 6c + 6 \)

Складываем \( 6x \) и \( 6x \) на левой стороне и \( 6c \) и \( -6c \) на правой стороне:

\( 12x = 12 \)

Теперь делим обе части уравнения на \( 12 \):

\( x = 1 \)

Теперь подставляем значение \( х = 1 \) в любое из уравнений прямых, например, в первое уравнение:

\( y = 6 \cdot 1 + 6c - 6 \)

\( y = 6 + 6c - 6 \)

\( y = 6c \)

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты \( (1, 6c) \).

Итак, координаты точки пересечения у двух перпендикулярных прямых, проходящих через фокусы гиперболы и через точку \( а(-1; 6) \), равны \( (1, 6c) \), где \( c \) - это расстояние от центра гиперболы до фокусов.