Какие координаты точки в момент времени t = π/6, если её скорость описывается формулой v(t) = 4cos (t + α/12), и

Милана

70

Чтобы найти координаты точки в момент времени \( t = \frac{\pi}{6} \), мы должны сначала найти положение точки в момент времени \( t = \frac{\pi}{12} \).

Известно, что абсцисса точки при \( t = \frac{\pi}{12} \) равна \( 4 - 2\sqrt{2} \). Обозначим эту абсциссу как \( x \), так что \( x = 4 - 2\sqrt{2} \).

Также дано уравнение для скорости точки: \( v(t) = 4\cos(t + \frac{\alpha}{12}) \).

Нам нужно найти \(\alpha\), чтобы далее использовать это значение для нахождения положения точки при \( t = \frac{\pi}{6} \).

Подставим \( t = \frac{\pi}{12} \) и \( x = 4 - 2\sqrt{2} \) в уравнение скорости и решим его, чтобы найти \(\alpha\):

\[ v(\frac{\pi}{12}) = 4\cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{12}) \]

Так как \( v(\frac{\pi}{12}) \) равно некоторому числу, давайте обозначим это число как \(a\):

\[ a = 4\cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{12}) \]

Решим это уравнение относительно \(\alpha\):

\[ \cos(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{12}) = \frac{a}{4} \]

Теперь, чтобы найти значение \(\alpha\), возьмём арккосинус от обеих сторон:

\[ \frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{12} = \arccos(\frac{a}{4}) \]

Выражаем \(\alpha\):

\[ \alpha = 12\arccos(\frac{a}{4}) - \pi \]

Ура! Мы нашли значение \(\alpha\)! Теперь, чтобы найти координаты точки при \( t = \frac{\pi}{6} \), подставим \( t = \frac{\pi}{6} \) и найденное значение \(\alpha\) в исходное уравнение скорости:

\[ v(\frac{\pi}{6}) = 4\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{12}) \]

Вычислим скорость \( v(\frac{\pi}{6}) \):

\[ v(\frac{\pi}{6}) = 4\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{12\arccos(\frac{a}{4}) - \pi}{12}) \]

\[ v(\frac{\pi}{6}) = 4\cos(\frac{\pi}{6} + \arccos(\frac{a}{4}) - \frac{\pi}{12}) \]

Докажем тождество \( \cos(a + b - c) = \cos(a)\cos(b)\cos(c) - \sin(a)\sin(b)\sin(c) \):

\[ \cos(\frac{\pi}{6} + \arccos(\frac{a}{4}) - \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6})\cos(\arccos(\frac{a}{4}))\cos(-\frac{\pi}{12}) - \sin(\frac{\pi}{6})\sin(\arccos(\frac{a}{4}))\sin(-\frac{\pi}{12}) \]

\[ \cos(\frac{\pi}{6} + \arccos(\frac{a}{4}) - \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 - (\frac{a}{4})^2} \cdot (-\frac{1}{2}) \]

\[ \cos(\frac{\pi}{6} + \arccos(\frac{a}{4}) - \frac{\pi}{12}) = \frac{3a}{8} + \frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{1 - (\frac{a}{4})^2} \]

Теперь мы нашли значение \( v(\frac{\pi}{6}) \), которое будет равно:

\[ v(\frac{\pi}{6}) = 4 \cdot (\frac{3a}{8} + \frac{\sqrt{3}}{4}\sqrt{1 - (\frac{a}{4})^2}) \]

Наконец, зная значение скорости \( v(\frac{\pi}{6}) \), мы можем вычислить координаты точки при \( t = \frac{\pi}{6} \) с помощью формулы:

\[ x = x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t) dt \]

где \( x_0 \) - значение абсциссы при \( t = \frac{\pi}{12} \), \( t_0 \) - значение времени при \( t = \frac{\pi}{12} \).

\[ x = (4 - 2\sqrt{2}) + \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} (4\cos(t + \frac{\alpha}{12})) dt \]

Решим определенный интеграл:

\[ x = (4 - 2\sqrt{2}) + [4\sin(t + \frac{\alpha}{12})]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \]

\[ x = (4 - 2\sqrt{2}) + 4\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{12}) - 4\sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{12}) \]

Теперь мы можем найти \( y \) - ординату с помощью формулы:

\[ y = \int_{t_0}^{t} v(t) dt \]

\[ y = \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} (4\cos(t + \frac{\alpha}{12})) dt \]

Решим определенный интеграл:

\[ y = [4\sin(t + \frac{\alpha}{12})]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \]

\[ y = 4\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{12}) - 4\sin(\frac{\pi}{12} + \frac{\alpha}{12}) \]

Теперь нам осталось только вычислить \( x \) и \( y \), используя полученные формулы. Удачи!