а) Докажите, что треугольник TAC1 является прямоугольным. б) Найдите угол между плоскостью TAC1 и плоскостью

Tanec_8219

40

а) Чтобы доказать, что треугольник TAC1 является прямоугольным, нам необходимо проверить, что угол ATC1 является прямым.

У нас есть два способа для этого:

1. Заметим, что AC1 и TC1 - это стороны треугольника TAC1, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора. Если сумма квадратов длин сторон AC1 и TC1 равна квадрату длины стороны TA, то треугольник TAC1 будет прямоугольным.

2. Другой способ - это проверить, что произведение наклонов AC1 и TC1 равно -1. Если это так, то стороны AC1 и TC1 будут перпендикулярными, а значит, треугольник TAC1 будет прямоугольным.

Выберем первый способ:

Длина стороны AC1 равна \(AC1 = \sqrt{(3-(-2))^2 + (1-5)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\).

Длина стороны TC1 равна \(TC1 = \sqrt{(-2-(-2))^2 + (-1-5)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{0 + (-6)^2 + 0} = \sqrt{36} = 6\).

Длина стороны TA равна \(TA = \sqrt{(-2-3)^2 + (1-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 0 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора и проверить, выполняется ли равенство \(AC1^2 + TC1^2 = TA^2\):

\((5\sqrt{2})^2 + 6^2 = (\sqrt{34})^2\)

\(50 + 36 = 34\)

Это очевидно не верно, значит треугольник TAC1 не является прямоугольным.

б) Чтобы найти угол между плоскостью TAC1 и плоскостью ABC, мы можем использовать геометрические свойства.

Один из способов - это найти нормальные векторы для обеих плоскостей и затем использовать формулу для нахождения угла между векторами. Нормальные векторы можно получить, найдя векторное произведение двух сторон для каждой плоскости.

Плоскость TAC1 задана точками T(-2, 1, 4), A(3, 1, 1) и C1(-2, 5, 1). Векторное произведение \(\overrightarrow{TA} \times \overrightarrow{TC1}\) может быть вычислено следующим образом:

\[
\overrightarrow{TA} \times \overrightarrow{TC1} = (3 + 2, 1 - 5, 1 - 4) = (5, -4, -3)
\]

Теперь найдем нормальный вектор для плоскости ABC:

\(\overrightarrow{AB} = (1, -2, 3)\)

\(\overrightarrow{AC} = (5, -4, 3)\)

\(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-26, -12, -6)\)

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, мы можем использовать формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{TA} \times \overrightarrow{TC1} \cdot \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{\lVert \overrightarrow{TA} \times \overrightarrow{TC1} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \rVert}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{(5, -4, -3)\cdot(-26, -12, -6)}{\sqrt{50 + 16 + 9} \cdot \sqrt{676 + 144 + 36}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{182}{\sqrt{75} \cdot \sqrt{856}} = \frac{182}{\sqrt{75 \cdot 856}}
\]

Теперь можно вычислить угол, используя обратную функцию косинуса:

\[
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{182}{\sqrt{75 \cdot 856}}\right)
\]

Вычисляя эту формулу, получаем:

\[
\theta \approx 62.89^\circ
\]

Таким образом, угол между плоскостью TAC1 и плоскостью ABC примерно равен \(62.89^\circ\).