а) Докажите, что треугольник TAC1 является прямоугольным. б) Найдите угол между плоскостью TAC1 и плоскостью

  • 53
а) Докажите, что треугольник TAC1 является прямоугольным.
б) Найдите угол между плоскостью TAC1 и плоскостью ABC.
Варианты ответов: TC1 перпендикулярно чему? ⇒ TC1 перпендикулярно AT. TC1 перпендикулярно чему? ⇒ арктангенс ?
Tanec_8219
40
а) Чтобы доказать, что треугольник TAC1 является прямоугольным, нам необходимо проверить, что угол ATC1 является прямым.

У нас есть два способа для этого:

1. Заметим, что AC1 и TC1 - это стороны треугольника TAC1, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора. Если сумма квадратов длин сторон AC1 и TC1 равна квадрату длины стороны TA, то треугольник TAC1 будет прямоугольным.

2. Другой способ - это проверить, что произведение наклонов AC1 и TC1 равно -1. Если это так, то стороны AC1 и TC1 будут перпендикулярными, а значит, треугольник TAC1 будет прямоугольным.

Выберем первый способ:

Длина стороны AC1 равна AC1=(3(2))2+(15)2+(41)2=52+(4)2+32=25+16+9=50=52.

Длина стороны TC1 равна TC1=(2(2))2+(15)2+(44)2=0+(6)2+0=36=6.

Длина стороны TA равна TA=(23)2+(11)2+(41)2=(5)2+0+32=25+9=34.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора и проверить, выполняется ли равенство AC12+TC12=TA2:

(52)2+62=(34)2

50+36=34

Это очевидно не верно, значит треугольник TAC1 не является прямоугольным.

б) Чтобы найти угол между плоскостью TAC1 и плоскостью ABC, мы можем использовать геометрические свойства.

Один из способов - это найти нормальные векторы для обеих плоскостей и затем использовать формулу для нахождения угла между векторами. Нормальные векторы можно получить, найдя векторное произведение двух сторон для каждой плоскости.

Плоскость TAC1 задана точками T(-2, 1, 4), A(3, 1, 1) и C1(-2, 5, 1). Векторное произведение TA×TC1 может быть вычислено следующим образом:

TA×TC1=(3+2,15,14)=(5,4,3)

Теперь найдем нормальный вектор для плоскости ABC:

AB=(1,2,3)

AC=(5,4,3)

AB×AC=(26,12,6)

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, мы можем использовать формулу:

cos(θ)=TA×TC1AB×ACTA×TC1AB×AC

cos(θ)=(5,4,3)(26,12,6)50+16+9676+144+36

cos(θ)=18275856=18275856

Теперь можно вычислить угол, используя обратную функцию косинуса:

θ=cos1(18275856)

Вычисляя эту формулу, получаем:

θ62.89

Таким образом, угол между плоскостью TAC1 и плоскостью ABC примерно равен 62.89.