а) Докажите, что треугольник TAC1 является прямоугольным. б) Найдите угол между плоскостью TAC1 и плоскостью

Tanec_8219

40

а) Чтобы доказать, что треугольник TAC1 является прямоугольным, нам необходимо проверить, что угол ATC1 является прямым.

У нас есть два способа для этого:

1. Заметим, что AC1 и TC1 - это стороны треугольника TAC1, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора. Если сумма квадратов длин сторон AC1 и TC1 равна квадрату длины стороны TA, то треугольник TAC1 будет прямоугольным.

2. Другой способ - это проверить, что произведение наклонов AC1 и TC1 равно -1. Если это так, то стороны AC1 и TC1 будут перпендикулярными, а значит, треугольник TAC1 будет прямоугольным.

Выберем первый способ:

Длина стороны AC1 равна $AC1=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(1-5{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{5^2+(-4{)}^2+3^2}=\sqrt{25+16+9}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

Длина стороны TC1 равна $TC1=\sqrt{(-2-(-2){)}^2+(-1-5{)}^2+(4-4{)}^2}=\sqrt{0+(-6{)}^2+0}=\sqrt{36}=6$.

Длина стороны TA равна $TA=\sqrt{(-2-3{)}^2+(1-1{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{(-5{)}^2+0+3^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора и проверить, выполняется ли равенство $AC{1}^2+TC{1}^2=T{A}^2$:

$(5\sqrt{2}{)}^2+6^2=(\sqrt{34}{)}^2$

$50+36=34$

Это очевидно не верно, значит треугольник TAC1 не является прямоугольным.

б) Чтобы найти угол между плоскостью TAC1 и плоскостью ABC, мы можем использовать геометрические свойства.

Один из способов - это найти нормальные векторы для обеих плоскостей и затем использовать формулу для нахождения угла между векторами. Нормальные векторы можно получить, найдя векторное произведение двух сторон для каждой плоскости.

Плоскость TAC1 задана точками T(-2, 1, 4), A(3, 1, 1) и C1(-2, 5, 1). Векторное произведение $\overrightarrow{TA}\times \overrightarrow{TC1}$ может быть вычислено следующим образом:

$$\overrightarrow{TA}\times \overrightarrow{TC1}=(3+2,1-5,1-4)=(5,-4,-3)$$

Теперь найдем нормальный вектор для плоскости ABC:

$\overrightarrow{AB}=(1,-2,3)$

$\overrightarrow{AC}=(5,-4,3)$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-26,-12,-6)$

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, мы можем использовать формулу:

$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{TA}\times \overrightarrow{TC1}\cdot \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}}{\Vert \overrightarrow{TA}\times \overrightarrow{TC1}\Vert \cdot \Vert \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\Vert }$$

$$\cos (\theta )=\frac{(5,-4,-3)\cdot (-26,-12,-6)}{\sqrt{50+16+9}\cdot \sqrt{676+144+36}}$$

$$\cos (\theta )=\frac{182}{\sqrt{75}\cdot \sqrt{856}}=\frac{182}{\sqrt{75\cdot 856}}$$

Теперь можно вычислить угол, используя обратную функцию косинуса:

$$\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{182}{\sqrt{75\cdot 856}}\right)$$

Вычисляя эту формулу, получаем:

$$\theta \approx {62.89}^{\circ }$$

Таким образом, угол между плоскостью TAC1 и плоскостью ABC примерно равен ${62.89}^{\circ }$.