Какие многочлены p и q, если их суммой является 2х в квадрате, а их разность - (-4х в кубе)?

Zolotoy_Korol

36

Чтобы найти многочлены \(p\) и \(q\), удовлетворяющие условию задачи, мы должны разложить исходные выражения на слагаемые и приравнять их к полученным выражениям. Давайте решим эту задачу по шагам.

Исходя из условия задачи, у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
p(x) + q(x) &= 2x^2 \\
p(x) - q(x) &= -4x^3
\end{align*}
\]

Для начала, чтобы найти многочлены \(p\) и \(q\), предположим, что оба многочлена имеют вид \(ax^3 + bx^2 + cx + d\), где \(a, b, c, d\) - некоторые числа.

Мы можем записать оба уравнения в общем виде:

\[
\begin{align*}
(ax^3 + bx^2 + cx + d) + (px^3 + qx^2 + rx + s) &= 2x^2 \\
(ax^3 + bx^2 + cx + d) - (px^3 + qx^2 + rx + s) &= -4x^3
\end{align*}
\]

Теперь объединим подобные слагаемые в каждом уравнении:

\[
\begin{align*}
(a + p)x^3 + (b + q)x^2 + (c + r)x + (d + s) &= 2x^2 \\
(a - p)x^3 + (b - q)x^2 + (c - r)x + (d - s) &= -4x^3
\end{align*}
\]

Таким образом, мы получили систему уравнений:

\[
\begin{align*}
(a + p)x^3 + (b + q)x^2 + (c + r)x + (d + s) &= 2x^2 \tag{1} \\
(a - p)x^3 + (b - q)x^2 + (c - r)x + (d - s) &= -4x^3 \tag{2}
\end{align*}
\]

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) в обоих уравнениях.

Приравнивая коэффициенты при \(x^3\), получаем уравнение \(a + p = 0\), что означает, что \(a = -p\).

Приравнивая коэффициенты при \(x^2\), получаем уравнение \(b + q = 2\).

Приравнивая коэффициенты при \(x\), получаем уравнение \(c + r = 0\), что означает, что \(c = -r\).

Приравнивая свободные члены, получаем уравнение \(d + s = 0\), что означает, что \(d = -s\).

Теперь мы можем заменить значения \(a, b, c, d\) в исходных уравнениях:

\[
\begin{align*}
(-p - p)x^3 + (b + q)x^2 + (-r + r)x + (-s + s) &= 2x^2 \tag{1} \\
(-p - p)x^3 + (b - q)x^2 + (-r - r)x + (-s - s) &= -4x^3 \tag{2}
\end{align*}
\]

Из уравнения (1) получаем:

\[
-2px^3 + (b + q)x^2 + 0x + 0 = 2x^2
\]

Теперь миряем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\):

\[
\begin{align*}
-2p &= 2 \quad \Rightarrow \quad p = -1 \\
b + q &= 0 \quad \Rightarrow \quad b = -q
\end{align*}
\]

Теперь мы можем записать итоговый вид многочленов \(p\) и \(q\):

\[
p(x) = -x^3 \\
q(x) = x^3
\]

Таким образом, мы нашли многочлены \(p\) и \(q\), удовлетворяющие условию задачи.