Какие общие решения дифференциального уравнения yy = 1 - 2x/y можно найти?

Снегирь

25

Для решения данного дифференциального уравнения yy" = 1 - 2x/y мы можем использовать метод вариации произвольной постоянной.

Предположим, что \(y\) – это функция, зависящая от \(x\), то есть \(y = y(x)\). Подставим это предположение в уравнение yy" = 1 - 2x/y и получим:

\[y(x)y""(x) = 1 - \frac{2x}{y(x)}\]

Далее введем новую переменную: \(v = y"\). Тогда \(v" = \frac{{dv}}{{dx}}\) и \(v"" = \frac{{d^2v}}{{dx^2}}\).
Таким образом, уравнение примет вид:

\[yv" + vv" = 1 - \frac{2x}{y}\]

Сгруппируем производные \(v\) в одну часть уравнения:

\[v(v" + y") = 1 - \frac{2x}{y}\]

Используя правило производной произведения для \(v(v" + y")\), получим:

\[v\frac{{dv}}{{dx}} + y\frac{{dv}}{{dx}} = 1 - \frac{2x}{y}\]

Теперь можем сократить на \(\frac{{dv}}{{dx}}\):

\[v + y\frac{{dv}}{{dx}} = 1 - \frac{2x}{y}\]

Переставим части уравнения:

\[y\frac{{dv}}{{dx}} + v = 1 - \frac{2x}{y}\]

Это уравнение можно решить методом разделения переменных:

\[y\frac{{dv}}{{dx}} = 1 - v - \frac{2x}{y}\]

Перенесем \(-v\) налево и \(- \frac{2x}{y}\) на право:

\[y\frac{{dv}}{{dx}} + v = 1 + \frac{2x}{y}\]

Теперь разделим оба выражения на \(y\):

\[\frac{{dv}}{{dx}} + \frac{{v}}{{y}} = \frac{{1}}{{y}} + \frac{{2x}}{{y^2}}\]

Получили уравнение с разделенными переменными. Теперь его можно решить.

Интегрируем обе части уравнения по \(x\):

\[\int{\frac{{dv}}{{dx}}dx} + \int{\frac{{v}}{{y}}dx} = \int{\frac{{1}}{{y}}dx} + \int{\frac{{2x}}{{y^2}}dx}\]

\[\int{dv} + \int{\frac{{v}}{{y}}dx} = \int{\frac{{1}}{{y}}dx} + \int{\frac{{2x}}{{y^2}}dx}\]

\[v + \int{\frac{{v}}{{y}}dx} = \int{\frac{{1}}{{y}}dx} + \int{\frac{{2x}}{{y^2}}dx}\]

Теперь проинтегрируем каждую часть отдельно:

\[\int{\frac{{v}}{{y}}dx} = \ln|y|\]

\[\int{\frac{{1}}{{y}}dx} = \ln|y|\]

\[\int{\frac{{2x}}{{y^2}}dx} = -\frac{{2}}{{y}}\]

Подставим полученные интегралы обратно в уравнение:

\[v + \ln|y| = \ln|y| - \frac{{2}}{{y}} + C\]

Где \(C\) – постоянная интегрирования.

Сократим логарифмы:

\[v = -\frac{{2}}{{y}} + C\]

Теперь мы имеем выражение для \(v\) в зависимости от переменной \(y\). Поставим связь между \(v\) и \(y\) при помощи предположения: \(v = y"\).

\[y" = -\frac{{2}}{{y}} + C\]

Теперь получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое можно решить методом разделения переменных.

\[y" + \frac{{2}}{{y}} = C\]

Уравнение можно решить с использованием метода интегрирующего множителя, умножив обе части уравнения на \(y^2\). Результат:

\[y^3 = C"y^2 + D\]

Где \(C"\) и \(D\) – произвольные постоянные. Полученное уравнение является общим решением заданного дифференциального уравнения yy" = 1 - 2x/y.

Надеюсь, что это подробное пошаговое решение поможет вам понять процесс решения и общее решение данного дифференциального уравнения. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать их.