Какие одночлены следует поставить вместо многоточия так, чтобы выражение можно было представить в виде квадрата

Скворец_2405

58

Для решения данной задачи мы должны найти такие одночлены, которые при возведении в квадрат будут давать нам члены \(25x^4\) и \(-40x^2y^3\).

Для начала, давайте разложим оба этих члена на множители:

\(25x^4 = (5x^2)^2\)

\(-40x^2y^3 = -4(10xy^{\frac{3}{2}})^2\)

Теперь, чтобы представить выражение в виде квадрата двухчлена, нужно искать одночлены вида \((ax^2 + by^{\frac{3}{2}})^2\), где \(a\) и \(b\) - произвольные коэффициенты. Раскрывая такое выражение, мы получим:

\((ax^2 + by^{\frac{3}{2}})^2 = a^2x^4 + 2abx^2y^{\frac{3}{2}} + b^2y^3\)

Сравнивая это с изначальным выражением \(25x^4 - 40x^2y^3\), мы можем определить значения коэффициентов \(a\) и \(b\).

Сначала сравним коэффициенты при \(x^4\):

\(a^2x^4 = 25x^4\) (1)

Отсюда следует, что \(a = \sqrt{25} = 5\) или \(a = -\sqrt{25} = -5\).

Переходим к коэффициентам при \(y^3\):

\(b^2y^3 = -40y^3\) (2)

Здесь возможны два варианта:

1. Если \(a = 5\), то из (2) следует \(b = -\sqrt{\frac{40}{y^3}} = -\frac{2\sqrt{10}}{y^{\frac{3}{2}}}\).

2. Если \(a = -5\), то из (2) следует \(b = \sqrt{\frac{40}{y^3}} = \frac{2\sqrt{10}}{y^{\frac{3}{2}}}\).

Итак, мы имеем два варианта ответа:

а) \(+4y^6\) (когда \(a = 5\) и \(b = -\frac{2\sqrt{10}}{y^{\frac{3}{2}}}\))

б) \(+16y^6\) (когда \(a = -5\) и \(b = \frac{2\sqrt{10}}{y^{\frac{3}{2}}}\))

Подставив любой из этих вариантов ответа в выражение \((ax^2 + by^{\frac{3}{2}})^2\), вы получите исходное выражение \(25x^4 - 40x^2y^3\).