Какие первые три слагаемых в разложении в биномиальные степени при возрастании степени x и какой коэффициент будет

Золото

67

Добро пожаловать! Рассмотрим задачу о разложении биномиальной степени в соответствии с вашими требованиями.

1) Первое, что нам нужно сделать, это возвести выражение \((3x + 1)\) в степень 5. Для этого мы воспользуемся формулой разложения бинома Ньютона.

Формула разложения бинома Ньютона имеет вид:
\[(a + b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C_n^2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n\]

Здесь \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В нашей задаче \(a = 3x\), \(b = 1\), и \(n = 5\). Подставим значения в формулу разложения:

\[
\begin{align*}
(3x + 1)^5 &= C_5^0 \cdot (3x)^5 \cdot 1^0 + C_5^1 \cdot (3x)^4 \cdot 1^1 + C_5^2 \cdot (3x)^3 \cdot 1^2 + C_5^3 \cdot (3x)^2 \cdot 1^3 + C_5^4 \cdot (3x)^1 \cdot 1^4 + C_5^5 \cdot (3x)^0 \cdot 1^5 \\
&= (3x)^5 + C_5^1 \cdot (3x)^4 \cdot 1 + C_5^2 \cdot (3x)^3 \cdot 1^2 + C_5^3 \cdot (3x)^2 \cdot 1^3 + C_5^4 \cdot (3x)^1 \cdot 1^4 + (1)^5 \\
&= 243x^5 + C_5^1 \cdot 81x^4 + C_5^2 \cdot 27x^3 + C_5^3 \cdot 9x^2 + C_5^4 \cdot 3x^1 + 1 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, первые три слагаемых в разложении \((3x + 1)^5\) при возрастании степени x равны:
\[243x^5, 81x^4, 27x^3\]

А коэффициент при x равен:
\[C_5^1 = 5\]

2) Рассмотрим теперь вторую задачу. Нужно возвести выражение \((1 - x)\) в степень \(n\), где \(n\) - заданная степень.

Применим формулу разложения бинома Ньютона:

\[
\begin{align*}
(1-x)^n &= C_n^0 \cdot 1^n \cdot (-x)^0 + C_n^1 \cdot 1^{n-1} \cdot (-x)^1 + C_n^2 \cdot 1^{n-2} \cdot (-x)^2 + \ldots + C_n^n \cdot 1^0 \cdot (-x)^n \\
&= 1 + C_n^1 \cdot (-x) + C_n^2 \cdot (-x)^2 + C_n^3 \cdot (-x)^3 + \ldots + C_n^n \cdot (-x)^n \\
\end{align*}
\]

Таким образом, при возведении \((1 - x)\) в степень \(n\) получаем следующие слагаемые:
\[1, -C_n^1 x, C_n^2 x^2, -C_n^3 x^3, \ldots\]

Здесь \(C_n^k\) - биномиальный коэффициент.

Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.