Какие последовательности являются геометрическими прогрессиями с шагом a и первым членом 2a: 2a; 2a3; ... да + 3

Ogonek_9647

67

Для того чтобы определить, какие последовательности являются геометрическими прогрессиями с шагом \(a\) и первым членом \(2a\), давайте разберемся, что такое геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, каждое из которых получается умножением предыдущего числа на постоянное число \(r\). Здесь \(r\) называется знаменателем прогрессии.

В данном случае шагом прогрессии является число \(a\), а первый член прогрессии равен \(2a\). Теперь давайте посмотрим на последовательности, которые даны:

1) 2a
2) \(2a^3\)
3) \(a + 3\)
4) \(a^2 + 3\)
5) \(az + 3\)

Для каждой последовательности вспомним, что мы умножаем предыдущий член на \(r\), где \(r = \frac{{\text{следующий член}}}{{\text{предыдущий член}}}\).

1) Первый член: \(2a\)
Знаменатель: \(r = \frac{{2a^3}}{{2a}} = a^2\)

Получаем, что каждый следующий член вида \(2a^3\) является геометрической прогрессией с шагом \(a\) и первым членом \(2a\).

2) Первый член: \(2a^3\)
Знаменатель: \(r = \frac{{a + 3}}{{2a^3}}\)

Определение геометрической прогрессии не выполняется, так как мы не получаем константное значение для \(r\). Поэтому данная последовательность не является геометрической прогрессией.

3) Первый член: \(a + 3\)
Знаменатель: \(r = \frac{{a^2 + 3}}{{a + 3}}\)

Определение геометрической прогрессии снова не выполняется, так как мы не получаем постоянное значение для \(r\).

4) Первый член: \(a^2 + 3\)
Знаменатель: \(r = \frac{{az + 3}}{{a^2 + 3}}\)

Опять же, значение \(r\) не постоянно, поэтому эта последовательность не является геометрической прогрессией.

5) Первый член: \(az + 3\)
Знаменатель: \(r = \frac{{a(i + 1) + 3}}{{az + 3}}\)

Значение \(r\) также не постоянно, поэтому эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Итак, из данных последовательностей только первая последовательность \(2a; 2a^3; 2a^5; \ldots\) является геометрической прогрессией с шагом \(a\) и первым членом \(2a\). Остальные последовательности не подходят под определение геометрической прогрессии.