Какие размеры должен иметь открытый цилиндрический бак, чтобы использовалось наименьшее количество материала

Веселый_Смех

15

Хорошо, давайте решим эту задачу с использованием принципа минимизации площади поверхности.

Для начала, давайте укажем переменные, чтобы иметь возможность выразить размеры бака. Пусть радиус основания бака будет \( r \), а его высота - \( h \).

Теперь давайте выразим площадь поверхности бака через данные переменные и найдем минимум этой площади.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты на длину окружности основания. Длина окружности равна \( 2\pi r \), и умножая это на высоту \( h \), получаем формулу для площади боковой поверхности цилиндра: \( S_{бок} = 2\pi r h \).

Площадь основания цилиндра равна площади круга и выражается формулой \( S_{осн} = \pi r^2 \).

Таким образом, общая площадь поверхности бака равна \( S_{общ} = 2\pi r h + \pi r^2 \).

Теперь нам нужно найти минимум этой функции при условии, что объем цилиндра равен \( V = 5.832\pi \).

Для этого мы можем использовать метод подстановки. Выразим \( h \) через \( r \) из уравнения для объема цилиндра:

\[ V = \pi r^2 h \Rightarrow h = \frac{V}{\pi r^2} \]

Подставляем это выражение в уравнение для общей площади поверхности:

\[ S_{общ} = 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) + \pi r^2 = \frac{2V}{r} + \pi r^2 \]

Теперь возьмем производную \( S_{общ} \) по \( r \) и найдем ее нули, чтобы найти экстремум площади поверхности:

\[ \frac{dS_{общ}}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 2\pi r = 0 \]

Решаем это уравнение относительно \( r \):

\[ \frac{2V}{r^2} = 2\pi r \Rightarrow V = \pi r^3 \Rightarrow r^3 = \frac{V}{\pi} \Rightarrow r = \left(\frac{V}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \]

Теперь, чтобы найти размеры бака, подставим полученное значение \( r \) в уравнение для \( h \):

\[ h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi \left(\frac{V}{\pi}\right)^{\frac{2}{3}}} = \frac{V^{\frac{1}{3}}}{\pi^{\frac{1}{3}}} \]

Таким образом, размеры бака, которые используют наименьшее количество материала при изготовлении и при этом имеют объем \( 5.832\pi \), равны:
Радиус основания: \( r = \left(\frac{5.832\pi}{\pi}\right)^{\frac{1}{3}} \)
Высота: \( h = \frac{(5.832\pi)^{\frac{1}{3}}}{\pi^{\frac{1}{3}}} \)

Вместе эти значения определяют размеры цилиндрического бака, при изготовлении которого израсходуется минимальное количество материала.