Какие размеры открытого цилиндрического бака будут обеспечивать использование наименьшего количества материала

Puteshestvennik

67

Чтобы определить размеры цилиндрического бака, которые обеспечат наименьшее количество материала при заданном объеме, нам необходимо использовать принцип оптимизации. Дадим подробное пошаговое решение для этой задачи.

1. Введем обозначения:
- Пусть \(r\) - радиус основания цилиндра,
- \(h\) - высота цилиндра.

2. Найдем объем цилиндра, используя известную формулу:
\[V = \pi r^2h\]

3. Подставим заданный объем в формулу и решим уравнение относительно высоты:
\[32,768\pi = \pi r^2h\]

Поскольку \(\pi\) сокращается, мы получаем:
\[32,768 = r^2h\]

4. Чтобы минимизировать количество материала, нужно минимизировать площадь поверхности цилиндра. Площадь поверхности \(S\) определяется следующей формулой:
\[S = 2\pi r(r + h)\]

5. Используем формулу объема, чтобы выразить высоту через радиус:
\[h = \frac{32,768}{r^2}\]

6. Подставим найденное значение \(h\) в формулу поверхности и представим ее в виде функции одной переменной:
\[S = 2\pi r(r + \frac{32,768}{r^2})\]

7. Для оптимизации функции площади поверхности рассмотрим ее производную:
\[\frac{dS}{dr} = 2\pi(2r - \frac{32,768}{r^2})\]

8. Решим уравнение \(\frac{dS}{dr} = 0\), чтобы найти критические точки функции:
\[2r - \frac{32,768}{r^2} = 0\]

Упростив это уравнение, получим:
\[2r^3 - 32768 = 0\]

9. Решим полученное уравнение для \(r\):
\[r^3 = \frac{32768}{2} = 16384\]

Извлекая кубический корень из обеих сторон:
\[r = \sqrt[3]{16384} = 32\]

10. Таким образом, радиус основания данного цилиндра равен 32.

11. Для определения высоты цилиндра, подставим найденное значение радиуса в уравнение объема:
\[h = \frac{32,768}{(32)^2} = \frac{32,768}{1,024} = 32\]

12. Таким образом, высота цилиндра также равна 32.

Итак, размеры открытого цилиндрического бака, которые обеспечат использование наименьшего количества материала при объеме \(32,768\pi\), состоят из радиуса основания 32 и высоты 32.