Какие решения уравнения 8sin^2(7п/12+x)-2√3cos2x=5?

Радио

9

Хорошо, давайте пошагово решим данное уравнение.

1. Начнем с упрощения уравнения. Давайте разложим тригонометрические функции с помощью формул двойного угла и суммы/разности углов.

2. Для удобства, заменим \(\frac{7\pi}{12} + x\) на новую переменную \(t\), чтобы упростить запись.

3. После этих преобразований мы получим следующее уравнение:

\[8\sin^2{t} - 4\sqrt{3}\sin{t}\cos{x} - 2\sqrt{3}\cos{x} = 5\]

4. Дальше разложим \(8\sin^2{t}\) с помощью формулы двойного угла:

\[8(\frac{1-\cos{2t}}{2}) - 4\sqrt{3}\sin{t}\cos{x} - 2\sqrt{3}\cos{x} = 5\]

5. Приведем подобные слагаемые и упростим уравнение:

\[4\cos{2t} - 4\sqrt{3}\sin{t}\cos{x} - 2\sqrt{3}\cos{x} = 1\]

6. Для дальнейшего упрощения выразим \(\cos{2t}\) с помощью формулы двойного угла:

\[\cos{2t} = 2\cos^2{t} - 1\]

7. Подставим эту формулу в уравнение и упростим его:

\[4(2\cos^2{t} - 1) - 4\sqrt{3}\sin{t}\cos{x} - 2\sqrt{3}\cos{x} = 1\]

\[8\cos^2{t} - 4 - 4\sqrt{3}\sin{t}\cos{x} - 2\sqrt{3}\cos{x} = 1\]

8. Приведем подобные слагаемые:

\[8\cos^2{t} - 4 - 6\sqrt{3}\cos{x}\sin{t} = 1\]

\[8\cos^2{t} - 6\sqrt{3}\cos{x}\sin{t} = 5\]

9. Разделим уравнение на 2:

\[4\cos^2{t} - 3\sqrt{3}\cos{x}\sin{t} = \frac{5}{2}\]

10. Заменим \(\cos^2{t}\) на \(1 - \sin^2{t}\) с учетом формулы Пифагора:

\[4(1 - \sin^2{t}) - 3\sqrt{3}\cos{x}\sin{t} = \frac{5}{2}\]

11. Распишем и упростим уравнение:

\[4 - 4\sin^2{t} - 3\sqrt{3}\cos{x}\sin{t} = \frac{5}{2}\]

12. Заменяем \(\sin^2{t}\) на \(1 - \cos^2{t}\) с использованием формулы Пифагора:

\[4 - 4(1 - \cos^2{t}) - 3\sqrt{3}\cos{x}\sqrt{1-\cos^2{t}} = \frac{5}{2}\]

13. Упростим уравнение:

\[4 - 4 + 4\cos^2{t} - 3\sqrt{3}\cos{x}\sqrt{1-\cos^2{t}} = \frac{5}{2}\]

\[4\cos^2{t} - 3\sqrt{3}\cos{x}\sqrt{1-\cos^2{t}} = \frac{5}{2}\]

14. Для удобства заменим \(\cos{x}\) на новую переменную \(a\):

\[4\cos^2{t} - 3\sqrt{3}a\sqrt{1-\cos^2{t}} = \frac{5}{2}\]

15. Заменим \(\sin{t}\) на \(\sqrt{1 - \cos^2{t}}\) с использованием формулы Пифагора:

\[4\cos^2{t} - 3\sqrt{3}a\sqrt{1-(1-\sin^2{t})} = \frac{5}{2}\]

16. Распишем и упростим уравнение:

\[4\cos^2{t} - 3\sqrt{3}a\sqrt{\sin^2{t}} = \frac{5}{2}\]

\[4\cos^2{t} - 3\sqrt{3}a\sin{t} = \frac{5}{2}\]

17. Заменим \(\cos^2{t}\) на \(1 - \sin^2{t}\) с использованием формулы Пифагора:

\[4(1 - \sin^2{t}) - 3\sqrt{3}a\sin{t} = \frac{5}{2}\]

18. Упростим уравнение:

\[4 - 4\sin^2{t} - 3\sqrt{3}a\sin{t} = \frac{5}{2}\]

\[4\sin^2{t} + 3\sqrt{3}a\sin{t} - \frac{3}{2} = 0\]

19. Теперь мы получили квадратное уравнение синуса. Можем решить его, используя формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (3\sqrt{3}a)^2 - 4(4)(-\frac{3}{2}) = 27a^2 + 24\]

20. Найдем значения \(a\), при которых \(D \geq 0\):

\[27a^2 + 24 \geq 0\]

\[27a^2 \geq -24\]

\[a^2 \geq -\frac{8}{9}\]

Отрицательных значений для \(a\) не существует, поэтому \(a\) может быть любым.

21. Теперь найдем значения \(\sin{t}\) с использованием формулы квадратного уравнения:

\[\sin{t} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3\sqrt{3}a \pm \sqrt{27a^2 + 24}}{8}\]

22. Поскольку мы искали решения \(\cos\) и \(\sin\) вместе, найдем значения \(\cos{t}\) с помощью формулы:

\[\cos{t} = \sqrt{1 - \sin^2{t}}\]

23. Теперь у нас есть значения \(\sin{t}\) и \(\cos{t}\) для замены обратно переменной \(t\).

24. Вернемся к исходной переменной \(x\) и найдем все решения уравнения.

Итак, мы получили сложное уравнение, которое включает квадратное уравнение для синуса и множество возможных значений переменной \(a\). Окончательное решение требует рассмотрения каждого значения \(a\) и найденных решений \(\sin{t}\) и \(\cos{t}\). Более конкретный ответ на вопрос о решениях уравнения можно получить после более подробного анализа и подстановки значений в исходное уравнение.