Какие соотношения между скоростями течения воды по трубе можно получить из закона Бернулли, рассматривая данную часть

Григорьевна

23

Закон Бернулли описывает зависимость между давлением и скоростью движения жидкости. Этот закон применим и к трубам с переменными сечениями, включая водопроводные системы. Рассмотрим трубу с начальным сечением \(A_1\) и конечным сечением \(A_2\), через которую проходит вода под давлением.

Согласно закону Бернулли, сумма давления, кинетической энергии и потенциальной энергии на единицу объема жидкости должна быть постоянной по всей трубе. Математически, это записывается следующим образом:

\[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2\]

Где:
\(P_1\) и \(P_2\) - давления на начальном и конечном сечениях соответственно,
\(\rho\) - плотность жидкости,
\(v_1\) и \(v_2\) - скорости течения жидкости на начальном и конечном сечениях соответственно,
\(g\) - ускорение свободного падения,
\(h_1\) и \(h_2\) - высоты соответствующих сечений над некоторым горизонтальным уровнем.

Из этого уравнения можно выразить соотношение между скоростями течения жидкости на начальном и конечном сечениях:

\[\frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 - (P_2 - P_1)\]

Рассмотрим несколько случаев.

1. Если труба горизонтальна и высоты сечений одинаковы (\(h_1 = h_2\)):
В этом случае выражение упрощается до:
\[\frac{1}{2} \rho v_1^2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 - (P_2 - P_1)\]
Получаем:\(v_1^2 = v_2^2 - \frac{2(P_2 - P_1)}{\rho}\)
То есть скорость течения жидкости на начальном сечении равна скорости течения на конечном сечении плюс разность давлений, деленная на плотность жидкости.

2. Если труба вертикальна и отличается только высотой (\(h_1 \neq h_2\), но \(P_1 = P_2\)):
В этом случае выражение упрощается до:
\[\frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2\]
Получаем: \(\frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2\)
Таким образом, скорость течения жидкости на начальном сечении равна скорости течения на конечном сечении, а давление различно.

3. Если труба не горизонтальна и отличается как высотой, так и давлением:
В этом случае все параметры \(h_1\), \(h_2\), \(P_1\), \(P_2\) могут быть разными, и соотношение между скоростями течения \(v_1\) и \(v_2\) будет определяться уравнением Бернулли:
\(\frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 + P_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 + P_2\)

Таким образом, из закона Бернулли для водопроводной системы с переменными сечениями можно получить различные соотношения между скоростями течения воды на разных участках трубы, в зависимости от условий, заданных значениями давления, высоты и плотности жидкости на этих участках.