Какие-то два гнома из группы 10 человек были назначены на дежурство в одинаковый день хотя бы один раз за 100 дней

Kosmicheskiy_Puteshestvennik

57

Чтобы решить данную задачу, мы можем воспользоваться принципом Дирихле, который гласит, что в любом подмножестве \(n+1\) элементов из множества \(n\) элементов найдутся хотя бы два одинаковых элемента.

В нашем случае у нас есть 10 гномов и 100 дней, и нам нужно найти хотя бы двух гномов, которые будут назначены на дежурство в один и тот же день хотя бы один раз.

Мы можем рассмотреть эти дни как множество из 100 элементов, а каждого гнома как элемент этого множества. Таким образом, имеем множество из 10 элементов (гномов) и нужно выбрать подмножество из 101 элемента (дней), чтобы у нас были хотя бы два одинаковых элемента.

Согласно принципу Дирихле, при \(n = 10\) и \(n+1 = 11\) у нас обязательно найдутся хотя бы два одинаковых элемента в выбранном нами подмножестве из 101 дня. То есть, по крайней мере, два гнома будут назначены на дежурство в один и тот же день хотя бы один раз из 100 дней.

Таким образом, ответ на задачу - хотя бы два гнома из группы 10 человек будут назначены на дежурство в одинаковый день хотя бы один раз за 100 дней.