Каково значение разности прогрессии (d), при котором произведение третьего и пятого членов арифметической прогрессии

Сонечка_2915

27

Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы ответ был понятен.

1. Какое-то начальное значение разности прогрессии (d) обозначим как \(a_1\).
2. Для арифметической прогрессии, третий член будет равен \(a_3 = a_1 + 2d\), а пятый член будет равен \(a_5 = a_1 + 4d\).
3. У нас есть условие: сумма утроенного второго и четвёртого членов равна 10. Это можно записать следующим образом: \(3(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 10\).
4. Раскроем скобки и упростим выражение: \(4a_1 + 6d = 10\).
5. Теперь найдём произведение третьего и пятого членов арифметической прогрессии. Умножим \(a_3\) на \(a_5\): \((a_1 + 2d)(a_1 + 4d)\).
6. Раскроем скобки и упростим выражение: \(a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\).
7. Теперь нам нужно минимизировать произведение, то есть найти значение \(d\), при котором оно будет наименьшим.
8. Для этого найдём вершину параболы, заданной выражением \(a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\).
9. Вершина параболы находится при \(a_1 = -\frac{b}{2a}\), где \(a = 8\) и \(b = 6d\).
10. Подставим значения в формулу: \(a_1 = -\frac{6d}{2 \cdot 8}\), и упростим выражение: \(a_1 = -\frac{3d}{8}\).
11. Таким образом, значение разности прогрессии \(d\) будет равно \(-\frac{3d}{8}\).

Итак, ответ: значение разности прогрессии \(d\) -\frac{3d}{8}.