Какие точки являются экстремумами функции f(x, y) = xy при условии x + y = 3, и какие значения функции наибольшие

Zvonkiy_Nindzya

42

Для начала найдем точки, в которых может находиться экстремум функции f(x, y) = xy при условии x + y = 3.
Для этого воспользуемся методом множителей Лагранжа.
Обозначим функцию L(x, y, λ) = xy + λ(x + y - 3), где λ - множитель Лагранжа.

Теперь найдем частные производные функции L(x, y, λ) по x, y и λ, и приравняем их к нулю:

\[
\begin{align*}
\frac{\partial L}{\partial x} &= y + \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} &= x + \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} &= x + y - 3 = 0
\end{align*}
\]

Теперь решим эту систему уравнений методом подстановки.

С начала решим первое уравнение относительно y:

\[
y = -\lambda
\]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[
x + \lambda = 0
\]

Отсюда получим:

\[
x = -\lambda
\]

Теперь подставим найденные значения x и y в третье уравнение:

\[
-\lambda + (-\lambda) - 3 = 0
\]

\[
-2\lambda - 3 = 0
\]

Отсюда найдем значение множителя Лагранжа:

\[
\lambda = -\frac{3}{2}
\]

Теперь найдем значения x и y:

\[
x = -\lambda = -\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}
\]

\[
y = -\lambda = -\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}
\]

Таким образом, получили точку экстремума (x, y) = \(\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)\).

Для определения того, является ли это точка минимумом или максимумом, проверим вторые частные производные.

Вычислим:

\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}
\]

\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0
\]

\[
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0
\]

\[
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1
\]

Так как \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0\) и \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1\), то точка \(\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)\) является точкой минимума функции f(x, y) = xy при условии x + y = 3.

Теперь найдем значения функции в точках максимума и минимума:

\[
f\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}
\]

Таким образом, наибольшее значение функции f(x, y) = xy при условии x + y = 3 равно \(\frac{9}{4}\), а наименьшее значение также равно \(\frac{9}{4}\).