Какие уравнения кривой проходят через точку м(5; -2) и имеют тот же угловой коэффициент dy/dx=1/2y в любой точке

Primula

46

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется использовать дифференциальное уравнение, учитывая условия на коэффициент dy/dx и точку касания.

Мы знаем, что угловой коэффициент dy/dx равен 1/2y, где y - координата y в любой точке касания.

Из этого уравнения можно получить следующее дифференциальное уравнение:

dy/dx = 1/2y

Для решения этого уравнения мы можем применить разделяющие переменные:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}\]

Умножим обе части уравнения на y:

y dy = \(\frac{1}{2}dx\)

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

\[\int y dy = \int \frac{1}{2} dx\]

Интегрирование просто:

\[\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x + C\]

Где С - постоянная интегрирования.

Для определения значения С нам нужна информация о точке касания, через которую проходит кривая. У нас есть точка м(5; -2), поэтому мы можем использовать эти значения в уравнении:

\[\frac{1}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 + C\]

Упрощая уравнение, получим:

2 = \(\frac{5}{2} + C\)

Вычтем \(\frac{5}{2}\) из обеих сторон:

C = 2 - \(\frac{5}{2}\)

C = \(\frac{4}{2}\) - \(\frac{5}{2}\)

C = \(-\frac{1}{2}\)

Таким образом, наше уравнение кривой будет иметь вид:

\[\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\]

Или, убирая дроби:

y^2 = x - 1

Это окончательный ответ. Кривая, удовлетворяющая условиям задачи и проходящая через точку м(5; -2), будет описываться уравнением y^2 = x - 1.