Какие утверждения верны для всех натуральных n> 1, если A=1n+1+1n+2+…+12n?

Золотой_Лорд_7844

62

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим последовательные значения \(A\) для нескольких значений \(n\) и посмотрим, сможем ли мы выделить какие-то общие закономерности.

При \(n=2\), значение \(A\) будет следующим:
\[A = 1^2 + 1^3 + \ldots + 1^2 = 1 + 1 = 2\]

При \(n=3\), значение \(A\) будет следующим:
\[A = 1^3 + 1^4 + \ldots + 1^3 = 1 + 1 = 2\]

При \(n=4\), значение \(A\) будет следующим:
\[A = 1^4 + 1^5 + \ldots + 1^4 = 1 + 1 = 2\]

Из представленных выше примеров можно заметить интересную закономерность: независимо от значения \(n\), значение \(A\) всегда равно 2. Это означает, что утверждение "Значение \(A\) всегда равно 2 для всех натуральных \(n > 1\)" является верным.

Теперь давайте попробуем объяснить, почему так происходит. В выражении \(A = 1^n + 1^{n+1} + \ldots + 1^2\) мы замечаем, что каждое слагаемое равно 1. При этом, количество слагаемых в выражении равно \(n-1\), поскольку мы начинаем с \(1^n\) и заканчиваем на \(1^2\). Таким образом, можно записать:
\[A = underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{n-1 \text{ слагаемых}} = n - 1 + 1 = n\]
То есть, значение \(A\) равно самому значению \(n\).

Таким образом, можно утверждать, что зная значение \(n\), мы можем сказать, что \(A = n\). Учитывая условие задачи, что \(n > 1\), получаем, что значение \(A\) всегда будет больше единицы.

Итак, вот наши выводы:
1. Значение \(A\) всегда равно \(n\) для всех натуральных \(n > 1\).
2. Значение \(A\) всегда больше единицы для всех натуральных \(n > 1\).

Надеюсь, это решение было понятным и полным.