Какие векторы можно использовать для определения точек м и о? И каков угол между векторами om

Pavel

37

Чтобы определить векторы, связанные с точками м (маленькая буква "эм") и о (маленькая буква "о"), нам нужно иметь информацию о координатах этих точек либо относительно начала координат (0,0), либо относительно других точек с известными координатами.

Предположим, что точка м имеет координаты (x1, y1), а точка о - (x2, y2). Вектор, направленный от точки о к точке м, обычно обозначается как om. Для того чтобы найти вектор om, мы вычитаем координаты точки о из координат точки м. То есть:

\[
om = (x1 - x2) \mathbf{i} + (y1 - y2) \mathbf{j}
\]

Где \(\mathbf{i}\) и \(\mathbf{j}\) - единичные векторы, параллельные осям x и y соответственно.

Теперь рассмотрим угол между векторами om. Мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами через их скалярное произведение:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{om} \cdot \mathbf{ox}}}{{\|\mathbf{om}\| \|\mathbf{ox}\|}}
\]

Где \(\mathbf{om}\) - вектор om, а \(\mathbf{ox}\) - вектор ox (например, вектор, направленный вдоль оси x). \(\|\mathbf{om}\|\) и \(\|\mathbf{ox}\|\) - длины векторов om и ox соответственно. Обратите внимание, что здесь мы предполагаем, что точка o находится в начале координат (0,0).

Итак, чтобы найти угол между векторами om, мы вначале найдем скалярное произведение векторов om и ox, а затем разделим его на произведение длин этих векторов. Обозначив для ясности \(\|\mathbf{om}\|\) как L1 и \(\|\mathbf{ox}\|\) как L2, получим следующую формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{(x1 - x2) \cdot 1 + (y1 - y2) \cdot 0}}{{L1 \cdot L2}}
\]

Например, если точка м имеет координаты (2, 3), а точка о - (0, 0), то вектор om будет иметь вид:

\[
om = (2 - 0) \mathbf{i} + (3 - 0) \mathbf{j} = 2 \mathbf{i} + 3 \mathbf{j}
\]

Также, поскольку координаты точки о - (0, 0), вектор ox будет иметь вид:

\[
ox = 1 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} = \mathbf{i}
\]

Тогда, применяя формулу для нахождения угла между векторами, получим:

\[
\cos(\theta) = \frac{{(2 - 0) \cdot 1 + (3 - 0) \cdot 0}}{{\sqrt{2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2}}}
\]

Решив это уравнение, найдем значение угла \(\theta\) (в радианах) между векторами om и ox.