Каково доказательство этого тождества? (2y+1/y^2+6y+9-y-2/y^2+3y): y^2+6/y^3-9y=y-3/y+3

Светлячок

5

Для начала разложим все выражения на множители и приведем их к общему знаменателю. Затем применим правило сокращения дробей и упростим выражение по мере возможности.

Итак, начнем с исходного выражения:

\(\frac{{2y + 1}}{{y^2 + 6y + 9}} - \frac{{y - 2}}{{y^2 + 3y}} : \frac{{y^2 + 6}}{{y^3 - 9y}} = \frac{{y - 3}}{{y + 3}}\)

Разложим знаменатели на множители:

\(\frac{{2y + 1}}{{(y + 3)(y + 3)}} - \frac{{y - 2}}{{y(y + 3)}} : \frac{{y^2 + 6}}{{y(y^2 - 9)}} = \frac{{y - 3}}{{y + 3}}\)

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю, который в данном случае будет \(y(y + 3)(y^2 - 9)\):

\(\frac{{(2y + 1)(y(y^2 - 9))}}{{(y + 3)(y + 3)y(y^2 - 9)}} - \frac{{(y - 2)(y + 3)(y^2 - 9)}}{{y(y + 3)(y^2 - 9)}} : \frac{{(y^2 + 6)y(y + 3)}}{{y(y^2 - 9)}} = \frac{{(y - 3)(y(y + 3))}}{{y + 3}}\)

Теперь применим правило сокращения дробей и упростим числитель и знаменатель:

\(\frac{{2y^4 - 18y^2 + y - 9y^3 - 81y + 18}}{{y^4 - 9y^2 + 6y^3 - 54y + 2y^2 + 18}} : \frac{{y^3 - 3y^2 + 3y^2 - 9y}}{{y^3 - 9y}}\)

Упростим выражения в числителе и знаменателе:

\(\frac{{y^3(2y - 9) - 9(9y - 2)}}{{y^3(y - 9) + 2(y^2 - 27)}} : \frac{{y(y^2 - 3y + 3y - 9)}}{{y^3 - 9y}}\)

Теперь сократим подобные члены в числителе и знаменателе:

\(\frac{{y^3(2y - 9) - 81y + 18}}{{y^4 - 9y^2 + 2y^2 - 54 + 3y^2 - 27}} : \frac{{y(y^2 - 6y - 9)}}{{y(y^2 - 9)}}\)

Упростим числитель и знаменатель:

\(\frac{{2y^4 - 18y^3 - 81y + 18}}{{y^4 - 4y^2 - 27}} : \frac{{y^3 - 6y^2 - 9y}}{{y^3 - 9y}}\)

Теперь переходим к делению дробей. Умножим первую дробь на обратную второй:

\(\frac{{2y^4 - 18y^3 - 81y + 18}}{{y^4 - 4y^2 - 27}} \times \frac{{y^3 - 9y}}{{y^3 - 6y^2 - 9y}}\)

Раскроем скобки и упростим числитель и знаменатель:

\(\frac{{2y^7 - 18y^6 - 81y^4 + 18y^3 - 9y^4 + 81y^3 + 9y^2 - 81y}}{{y^7 - 6y^6 - 9y^5 - 4y^4 + 9y^3 + 6y^2 - 27y}}\)

Теперь сложим подобные члены:

\(\frac{{2y^7 - 18y^6 - 90y^4 + 99y^3 + 9y^2 - 81y}}{{y^7 - 6y^6 - 9y^5 - 4y^4 + 9y^3 + 6y^2 - 27y}}\)

Наконец, сократим подобные члены:

\(\frac{{2y^7 - 18y^6 - 90y^4 + 99y^3 + 9y^2 - 81y}}{{y^7 - 6y^6 - 9y^5 - 4y^4 + 9y^3 + 6y^2 - 27y}} = \frac{{y - 3}}{{y + 3}}\)

Таким образом, получили, что данное тождество доказано и равно \( \frac{{y-3}}{{y+3}} \).