Найдите все значения функции f(x)=-x^4-8x^2+17

Dmitriy

68

Для решения задачи поиска всех значений функции \(f(x) = -x^4 - 8x^2 + 17\) мы можем использовать метод анализа функций. Для начала, давайте посмотрим, как вычислить значение функции для определенного значения \(x\).

Чтобы найти значение функции \(f(x)\) для заданного \(x\), вам нужно подставить это значение вместо \(x\) в уравнение функции и произвести соответствующие вычисления. Давайте начнем с вычисления нескольких значений \(f(x)\) для различных \(x\) и построим таблицу:

\[
\begin{align*}
x & f(x) \\
\hline
-2 & -5 \\
-1 & 8 \\
0 & 17 \\
1 & 8 \\
2 & -5 \\
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти все значения функции \(f(x)\), нам нужно проанализировать ее график. Мы можем найти экстремумы функции, то есть максимальные и минимальные значения.

В нашем случае, функция \(f(x) = -x^4 - 8x^2 + 17\) является квадратичной функцией со старшим коэффициентом -1. Это означает, что график функции будет иметь форму параболы.

Используя методы изучения квадратичных функций, мы можем найти координаты вершины параболы. Формула для нахождения координат вершины выглядит следующим образом:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

В нашем случае, \(a = -1\) и \(b = 0\), поэтому \(x = 0\). Теперь давайте подставим \(x = 0\) в исходное уравнение и найдем значение функции \(f(x)\) в этой точке:

\[
f(0) = -(0)^4 - 8(0)^2 + 17 = 17
\]

Таким образом, координаты вершины параболы равны \((0, 17)\). Это означает, что минимальное значение функции равно 17.

Также стоит отметить, что у параболы нет максимального значения и она будет стремиться к отрицательной бесконечности при \(x \to \pm \infty\).

Итак, все значения функции \(f(x) = -x^4 - 8x^2 + 17\) равны -5, 8, 17 и имеют следующий график:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = center,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
ymin = -10,
ymax = 20,
xmin = -3,
xmax = 3,
]
\addplot [
domain=-2.5:2.5,
samples=100,
color=blue,
]
{-x^4 - 8*x^2 + 17};
\addplot[mark=*] coordinates {(0, 17)};
\addlegendentry{\(f(x) = -x^4 - 8x^2 + 17\)}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Надеюсь, эта информация полезна.