Какие значения длин катетов прямоугольного треугольника приведут к максимальной площади, если сумма длин катетов

Zagadochnyy_Elf

34

Для того чтобы найти значения длин катетов, при которых площадь прямоугольного треугольника будет максимальной, нам потребуется использовать математический аппарат и решить задачу методом оптимизации.

Дано: сумма длин катетов равна 18 см.

Пусть один катет будет равен X см, а другой катет - Y см.

Так как сумма длин катетов равна 18 см, то мы можем записать уравнение:
X + Y = 18

Так как мы хотим найти значения катетов, при которых площадь треугольника будет максимальной, нам потребуется использовать формулу для площади прямоугольного треугольника. Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:

Площадь = (X * Y) / 2

Теперь нам нужно найти значения X и Y, которые максимизируют площадь треугольника. Для этого нам нужно решить следующую задачу оптимизации:

Максимизировать площадь (X * Y) / 2 при ограничении X + Y = 18

Для решения этой задачи оптимизации воспользуемся методом подстановки.

Используем ограничение X + Y = 18, что означает, что X = 18 - Y.

Теперь мы можем подставить это значение X в формулу для площади треугольника:

Площадь = ((18 - Y) * Y) / 2

Упрощая выражение, получаем:

Площадь = (18Y - Y^2) / 2

Теперь нам нужно найти значение Y, при котором площадь будет максимальной. Для этого мы можем взять производную от выражения площади по Y, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение:

d(Площадь)/dY = 18 - 2Y

18 - 2Y = 0

2Y = 18

Y = 9

Используя значение Y, мы можем найти значение X, подставив его в ограничение X + Y = 18:

X + 9 = 18

X = 9

Таким образом, значения катетов, при которых площадь прямоугольного треугольника будет максимальной, равны 9 см и 9 см. Максимальная площадь треугольника будет:

Площадь = (9 * 9) / 2 = 81 / 2 = 40.5 квадратных сантиметра.