Какие значения имеют максимальная кинетическая, максимальная потенциальная и полная энергии материальной точки массой

Daniil_3543

2

Для решения данной задачи нам понадобится знание о кинетической и потенциальной энергиях, а также о законе осцилляции, заданном уравнением \(x = 0.01 \sin(0.1t)\), где \(x\) - смещение материальной точки от равновесного положения, а \(t\) - время.

Первым делом, найдем скорость \(v(t)\) материальной точки, для чего продифференцируем заданное уравнение относительно времени \(t\):
\[v(t) = \frac{d}{dt} (0.01 \sin(0.1t))\]

Продифференцируем правую часть:
\[v(t) = 0.01 \cdot 0.1 \cdot \cos(0.1t)\]
\[v(t) = 0.001 \cos(0.1t)\]

Далее, мы можем найти кинетическую энергию \(K(t)\) материальной точки, используя формулу \(K = \frac{1}{2} m v^2\), где \(m\) - масса материальной точки. Подставим уже найденное значение скорости:
\[K(t) = \frac{1}{2} \cdot 0.008 \cdot (0.001 \cos(0.1t))^2\]
\[K(t) = 4 \cdot 10^{-6} \cos^2(0.1t)\]

Теперь давайте найдем потенциальную энергию \(U(t)\) материальной точки. Для этого воспользуемся формулой \(U = \frac{1}{2} k x^2\), где \(k\) - коэффициент жесткости пружины. В данном случае, у нас нет явного значения \(k\), но мы можем заметить, что заданное уравнение осцилляции аналогично гармоническому осциллятору, где \(k\) будет равно \(m \cdot \omega^2\) (где \(\omega\) - угловая частота, определяемая как \(\omega = 2 \pi f\) и \(f\) - частота осцилляции). Таким образом, \(k\) равно \(0.008 \cdot (0.1 \cdot 2 \pi)^2\):
\[k = 0.008 \cdot (0.1 \cdot 2 \pi)^2\]

Теперь мы можем подставить значения \(k\) и \(x(t)\) в формулу для потенциальной энергии:
\[U(t) = \frac{1}{2} \cdot 0.008 \cdot (0.01 \sin(0.1t))^2\]
\[U(t) = 4 \cdot 10^{-6} \sin^2(0.1t)\]

Наконец, мы можем найти полную энергию \(E(t)\) материальной точки, которая равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
\[E(t) = K(t) + U(t)\]
\[E(t) = 4 \cdot 10^{-6} \cos^2(0.1t) + 4 \cdot 10^{-6} \sin^2(0.1t)\]
\[E(t) = 4 \cdot 10^{-6}\]

Таким образом, для данной осциллирующей материальной точки с массой 8 г, все значения энергии являются постоянными и равны 4 * \(10^{-6}\) Дж.