Какие значения m удовлетворяют условию неравенства

Пуфик

37

Чтобы решить данное неравенство и найти значения \(m\), которые удовлетворяют условию, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Вначале, давайте проанализируем само неравенство:

\[4m^2 + 13m - 9 > 0\]

Наша задача заключается в том, чтобы найти все значения \(m\), при которых данное неравенство истинно, то есть когда левая часть больше нуля.

2. Для удобства давайте воспользуемся методом разложения на множители:

\[4m^2 + 13m - 9 = (4m - 1)(m + 9)\]

Мы разложили исходное неравенство на два множителя.

3. Теперь нам нужно определить, когда произведение двух множителей больше нуля. Для этого воспользуемся таблицей знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& 4m - 1 & m + 9 & (4m - 1)(m + 9) \\
\hline
m < -\frac{9}{4} & - & - & + \\
\hline
-\frac{9}{4} < m < \frac{1}{4} & - & + & - \\
\hline
m > \frac{1}{4} & + & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Мы строим таблицу, где проверяем знак каждого множителя и их произведения.

4. Из таблицы знаков мы видим, что произведение двух множителей положительно, когда либо оба множителя положительны, либо оба множителя отрицательны:

\[
\begin{align*}
&4m - 1 > 0 \text{ и } m + 9 > 0 \quad \text{или} \quad 4m - 1 < 0 \text{ и } m + 9 < 0 \\
&4m > 1 \text{ и } m > -9 \quad \text{или} \quad 4m < 1 \text{ и } m < -9 \\
&m > \frac{1}{4} \text{ и } m > -9 \quad \text{или} \quad m < \frac{1}{4} \text{ и } m < -9 \\
&m > -9 \quad \text{или} \quad m < \frac{1}{4}
\end{align*}
\]

Мы решаем систему неравенств, полученных из таблицы знаков.

5. Итак, значения \(m\), которые удовлетворяют исходному неравенству, – это все \(m\), которые больше -9 и меньше \(\frac{1}{4}\):

\[-9 < m < \frac{1}{4}\]

Таким образом, ответом на данную задачу является интервал значений \(m\), в котором исходное неравенство выполняется: \(m\) принадлежит интервалу от -9 до \(\frac{1}{4}\), не включая границы.