Какой коэффициент а нужно использовать в уравнении x^3-6x^2+ax-8=0, чтобы гарантировано получить уравнение с тремя

Тайсон_2893

49

Чтобы гарантировано получить уравнение с тремя положительными корнями, нужно найти коэффициент "а" такой, чтобы полином \(x^3-6x^2+ax-8=0\) имел три положительных корня. Давайте разберемся в этом.

Уравнение \(x^3-6x^2+ax-8=0\) имеет три корня, если его дискриминант и его значение в точках "0" и "+бесконечность" отличаются по знаку. Давайте докажем это.

Первым шагом нам нужно найти дискриминант полинома. Дискриминант полинома третьей степени \(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D\) определяется формулой:

\[D = B^2C^2 - 4AC^3 - 4B^3D - 27A^2D^2 + 18ABCD\]

Подставим значения коэффициентов нашего уравнения:

\(A = 1\), \(B = -6\), \(C = a\), \(D = -8\)

Подставим значения в формулу и упростим выражение:

\[D = (-6)^2a^2 - 4(1)(a)^3 - 4(-6)^3(-8) - 27(1)^2(-8)^2 + 18(1)(-6)(a)(-8)\]
\[D = 36a^2 - 4a^3 + 1728 - 1728 + 864a\]
\[D = -4a^3 + 36a^2 + 864a\]
\[D = 4a(a-12)(a+6)\]

Теперь давайте проанализируем значения полинома в точках "0" и "+бесконечность".

Подставим \(x = 0\) в полином и получим:

\[0^3-6(0)^2+a(0)-8=0-0+0-8=-8\]

Значение полинома в точке "0" равно -8.

Теперь давайте посмотрим на поведение полинома при \(x \to +\infty\).

Полином \(x^3-6x^2+ax-8=0\) будет стремиться к плюс бесконечности, если его ведущим членом будет \(x^3\), то есть если коэффициент при \(x^3\) будет положительным числом. В нашем уравнении коэффициент при \(x^3\) равен 1, поэтому для того, чтобы полином стремился к плюс бесконечности, нужно, чтобы коэффициент "a" был положительным числом.

Теперь мы имеем два условия: дискриминант должен быть положительным числом, а коэффициент "a" должен быть положительным числом.

Если эти условия будут выполняться, то полином \(x^3-6x^2+ax-8=0\) будет иметь три положительных корня.

Таким образом, чтобы гарантировано получить уравнение с тремя положительными корнями, нужно выбрать коэффициент "a" таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:

1. Дискриминант \(D = 4a(a-12)(a+6)\) должен быть положительным числом.
2. Коэффициент "a" должен быть положительным числом.