Какие значения p являются корнями уравнения, где arctg(3p^2−1)=arctg(2p^2+p+1)? Укажите корни в порядке возрастания

Schelkunchik

63

Для начала, давайте рассмотрим данное уравнение:
\[arctg(3p^2-1) = arctg(2p^2+p+1)\]

Для удобства решения этой задачи, воспользуемся свойством тангенса двойного угла:
\[arctg(a) = arctg(b) \Rightarrow a = b\]

Применим это свойство к нашему уравнению:
\[3p^2-1 = 2p^2+p+1\]

Теперь приведём все слагаемые к одной стороне и получим квадратное уравнение:
\[p^2 - p - 2 = 0\]

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой квадратного корня:
\[p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В нашем случае, коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\).

Подставим значения и решим уравнение:
\[p_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\]
\[p_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}\]
\[p_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}\]
\[p_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{2}\]

Теперь найдём значения \(p\):
\[p_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2\]
\[p_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

Итак, корнями нашего уравнения являются \(p_1 = 2\) и \(p_2 = -1\).

Ответ: p1 = 2