Какие значения переменной приводят к положительным значениям функции, используя график функции? 1) Какие значения

Yarilo

42

Когда мы хотим найти значения переменной, при которых функция принимает положительные значения, нам необходимо изучить график функции. Таким образом, для каждой задачи давайте нарисуем график функции и определим, при каких значениях переменной функция будет положительной.

1) Функция y = 3x^2 - 12x имеет параболическую форму. Чтобы найти значения переменной, при которых функция положительна, мы ищем участки графика, на которых функция находится выше оси x, то есть выше нуля.
Давайте нарисуем график функции:

\[
\begin{align*}
y &= 3x^2 - 12x \\
\end{align*}
\]

\[graph\]

Из графика видно, что функция будет положительной в тех областях, где она находится выше оси x. Чтобы найти значения переменной, при которых функция будет положительной, нам нужно определить участки графика, на которых она находится выше нуля.
Давайте рассмотрим график поподробнее:

\[
\begin{align*}
y &= 3x^2 - 12x \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
D &= (-\infty, +\infty) \\
\end{align*}
\]

У нас есть парабола, и по теореме о знаке у функции квадратичного уравнения, мы знаем, что функция будет положительной в тех участках графика, где уравнение \(3x^2 - 12x > 0\). Давайте решим это уравнение:

\[
\begin{align*}
3x^2 - 12x &> 0 \\
3x(x - 4) &> 0 \\
\end{align*}
\]

Мы получаем два множителя: \(3x\) и \(x - 4\). Чтобы выражение было положительным, оба множителя должны иметь одинаковый знак. Проанализируем три возможных случая:

Case 1: \(3x > 0\) and \(x - 4 > 0\)
Если \(3x > 0\) и \(x - 4 > 0\), то оба множителя положительны, и произведение будет положительным. В этом случае, решениями неравенства будут все значения переменной \(x\), которые больше, чем 4.

Case 2: \(3x < 0\) and \(x - 4 < 0\)
Если \(3x < 0\) и \(x - 4 < 0\), то оба множителя отрицательны, и произведение будет положительным. В этом случае, решениями неравенства будут все значения переменной \(x\), которые меньше, чем 0.

Case 3: \(3x > 0\) and \(x - 4 < 0\)
Если \(3x > 0\) и \(x - 4 < 0\), то первый множитель положительный, а второй отрицательный. В этом случае, произведение будет отрицательным. Следовательно, в этом случае нет значений переменной \(x\), при которых функция положительна.

Таким образом, значения переменной \(x\), при которых функция \(y = 3x^2 - 12x\) положительна, являются всеми значениями \(x\), которые больше 4 или меньше 0.

2) Функция \(y = -2x^2 + 5.2x\) также является параболой. Давайте нарисуем ее график:

\[
\begin{align*}
y &= -2x^2 + 5.2x \\
\end{align*}
\]

\[graph\]

Из графика видно, что функция будет положительной в тех участках графика, где она находится выше оси x. Мы можем видеть, что график пересекает ось x в двух точках. Чтобы найти значения переменной, при которых функция положительна, нам нужно определить участки графика, на которых она находится выше нуля. Так как методы для решения уравнения \(y = -2x^2 + 5.2x > 0\) несколько сложны, давайте воспользуемся графиком.

Из графика видно, что функция положительна в интервалах \((- \infty, x_1)\) и \((x_2, + \infty)\). Здесь, \(x_1\) и \(x_2\) обозначают значения переменной, где график пересекает ось x.

3) Наконец, рассмотрим функцию \(y = -x^2 + 6x - 9\). Построим ее график:

\[
\begin{align*}
y &= -x^2 + 6x - 9 \\
\end{align*}
\]

\[graph\]

Из графика видно, что функция будет положительной в тех областях, где она находится выше оси x. Мы можем видеть, что график пересекает ось x в одной точке. Подобно предыдущей задаче, нам нужно определить участки графика, на которых функция находится выше нуля.

Из графика мы можем видеть, что функция положительна в интервале \((x_1, + \infty)\), где \(x_1\) обозначает значение переменной, где график пересекает ось x.

4) Наконец, рассмотрим функцию \(y = -x^2 - 2.8x\). Построим ее график:

\[
\begin{align*}
y &= -x^2 - 2.8x \\
\end{align*}
\]

\[graph\]

Из графика видно, что функция будет положительной в тех областях, где она находится выше оси x. Мы можем видеть, что график пересекает ось x в двух точках. Давайте определим, при каких значениях переменной функция будет положительной.

Из графика мы можем видеть, что функция положительна в интервалах \((x_1, x_2)\) и \((x_3, + \infty)\), где \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) обозначают значения переменной, где график пересекает ось x.

Таким образом, решая каждую задачу путем анализа графиков функций, мы можем определить значения переменной, при которых функции примут положительные значения. С уверенностью можем сказать, что значения переменной \(x\), при которых функция из первой задачи \(y = 3x^2 - 12x\), функция из второй задачи \(y = -2x^2 + 5.2x\), функция из третьей задачи \(y = -x^2 + 6x - 9\) и функция из четвертой задачи \(y = -x^2 - 2.8x\) будут положительными, соответственно, значения больше 4 или меньше 0 для первой функции, значения между \(x_1\) и \(x_2\), а также больше \(x_3\) для второй функции, значения больше \(x_1\) для третьей функции, и значения между \(x_1\) и \(x_2\), а также больше \(x_3\) для четвертой функции.