Какие значения переменной x удовлетворяют уравнению (x^2-2x)^2+(x-1)^2=1?

Magiya_Zvezd

17

Хорошо, рассмотрим эту задачу пошагово.

Дано уравнение: \( (x^2-2x)^2+(x-1)^2=1 \). Наша цель - найти значения переменной \( x \), при которых это уравнение выполняется.

Шаг 1: Раскроем скобки в левой части уравнения:

\( (x^2-2x)^2+(x-1)^2 \)
\( = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) + (x^2 - 2x + 1) \)
\( = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + x^2 - 2x + 1 \)
\( = x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1 \)

Шаг 2: Перенесем все слагаемые на левую сторону уравнения и получим:

\( x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x + 1 - 1 = 0 \)
\( x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x = 0 \)

Шаг 3: Теперь решим уравнение. Для этого сначала факторизуем его. Заметим, что каждое слагаемое является квадратом некоторого выражения:

\( (x^2 - 2x)(x^2 - 2x) + x(x - 2) = 0 \)

Шаг 4: Прежде чем продолжить факторизацию, заметим, что \( x^2 - 2x \) является общим множителем в обоих слагаемых. Вынесем его за скобку:

\( (x^2 - 2x)((x^2 - 2x) + x) = 0 \)

\( (x^2 - 2x)(x^2 - x) = 0 \)

Шаг 5: Для того чтобы выражение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

\( x^2 - 2x = 0 \) или \( x^2 - x = 0 \)

Шаг 6: Решим каждое из этих уравнений отдельно.

- Для уравнения \( x^2 - 2x = 0 \):
Вынесем общий множитель \( x \):
\( x(x - 2) = 0 \)
Таким образом, получаем два возможных значения переменной \( x \): \( x = 0 \) или \( x = 2 \).

- Для уравнения \( x^2 - x = 0 \):
Вынесем общий множитель \( x \):
\( x(x - 1) = 0 \)
Получаем два возможных значения переменной \( x \): \( x = 0 \) или \( x = 1 \).

Шаг 7: Объединим все возможные значения переменной \( x \): \( x = 0, 1, 2 \).

Итак, уравнение \( (x^2-2x)^2+(x-1)^2=1 \) имеет три значения переменной \( x \), которые являются решениями: \( x = 0, 1, 2 \).

Надеюсь, этот подробный шаг за шагом разбор помог вам понять решение данной задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь обращаться!