Какие значения переменных приводят к отсутствию корней у уравнения 2x-8/x-3+x-3/5x+5=3 1/2?

Ekaterina

15

Данное уравнение выглядит следующим образом:

\[2x - \frac{8}{x-3} + \frac{x-3}{5x+5} = 3\frac{1}{2}\]

Перед тем как начать решение уравнения, нам необходимо обратить внимание на условия его существования. Значения переменной \(x\), при которых выполняется одно или несколько из следующих условий, приводят к отсутствию корней:

1. Знаменатель у одной или нескольких дробей станет равен нулю.
2. Термы, содержащие переменную \(x\), сокращаются и уравнение превращается в невозможность выполенения какого-либо равенства.

Теперь перейдем к решению данного уравнения пошагово:

1. Исключим дробь в уравнении, умножив каждое слагаемое на общий знаменатель. В данном случае, общим знаменателем является \((x-3)(5x+5)\).
После умножения, уравнение примет вид:

\[(2x - 8)(5x + 5) + (x-3)^2 = \frac{7}{2}(x-3)(5x+5)\]

2. Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[10x^2 + 10x - 40x - 40 + x^2 - 6x + 9 = \frac{35}{2}x^2 - \frac{105}{2}x - \frac{35}{2}\]
Сгруппируем слагаемые:
\[11x^2 - 36x - 31 = \frac{35}{2}x^2 - \frac{105}{2}x - \frac{35}{2}\]

3. Упростим получившееся уравнение, вычитая с обеих сторон \(\frac{35}{2}x^2\) и добавляя \(\frac{105}{2}x\):

\[\frac{11}{2}x^2 - \frac{69}{2}x - \frac{31}{2} = 0\]

4. Полученное квадратное уравнение \(\frac{11}{2}x^2 - \frac{69}{2}x - \frac{31}{2} = 0\) можно решить с использованием дискриминанта.

Дискриминант (\(D\)) равен:

\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = \frac{11}{2}\), \(b = -\frac{69}{2}\), \(c = -\frac{31}{2}\)

5. Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу дискриминанта и вычислим его значение:

\[D = \left(-\frac{69}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{11}{2}\right)\left(-\frac{31}{2}\right)\]
\[D = \frac{69^2}{4} + \frac{11 \cdot 31}{2} = \frac{4761}{4} + \frac{341}{2}\]
\[D = \frac{4761 + 2 \cdot 341}{4} = \frac{4761 + 682}{4} = \frac{5443}{4}\]

6. Так как \(D > 0\), то квадратное уравнение имеет два корня.
7. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставляем значения \(a\), \(b\), \(c\) и \(D\):

\[x_{1,2} = \frac{-\left(-\frac{69}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{5443}{4}}}{2\left(\frac{11}{2}\right)}\]
\[x_{1,2} = \frac{\frac{69}{2} \pm \frac{73}{2}}{\frac{11}{2}}\]
\[x_{1,2} = \frac{{69 \pm 73}}{{11}}\]

8. Вычисляем значения корней:

\[x_1 = \frac{69 + 73}{11} = \frac{142}{11}\]
\[x_2 = \frac{69 - 73}{11} = -\frac{4}{11}\]

Таким образом, при значении переменной \(x = \frac{142}{11}\) и \(x = -\frac{4}{11}\) уравнение исходит в уравнение не имеющие корней.