Какие значения сопротивления, потребляемой мощности, действующего значения тока и напряжения в цепи с активным

Сабина_4847

70

Данная задача связана с анализом цепей переменного тока. Для того чтобы определить значения сопротивления, потребляемой мощности, действующего значения тока и напряжения в данной цепи, нам понадобятся преобразования комплексных чисел.

Мы знаем, что мгновенное значение тока задано как $i=2.7\cdot \sin (\omega t+\frac{\pi }{3})\text{А}$, а напряжение меняется в соответствии с законом $u=50\cdot \sin (\omega t+\frac{\pi }{3})$, где $\omega$ - угловая частота и $t$ - время.

Для решения задачи, нам необходимо преобразовать выражения для тока и напряжения в комплексную форму используя формулу Эйлера:

$$\sin (\theta )=\frac{e^{j\theta }-e^{-j\theta }}{2j}$$

Для этого, заменим угловую частоту $\omega$ на $2\pi f$, где $f$ - частота, а затем введем комплексные переменные для тока и напряжения:

$$i(t)=\text{Im}\{I{e}^{j\omega t}\}\text{и}u(t)=\text{Im}\{U{e}^{j\omega t}\}$$

где $I$ и $U$ - комплексные амплитуды тока и напряжения соответственно.

Теперь, заменим синус на экспоненту в заданных выражениях и получим:

$$i(t)=\frac{2.7}{2j}(e^{j(\omega t+\frac{\pi }{3})}-e^{-j(\omega t+\frac{\pi }{3})})\text{А}$$

$$u(t)=\frac{50}{2j}(e^{j(\omega t+\frac{\pi }{3})}-e^{-j(\omega t+\frac{\pi }{3})})\text{В}$$

Теперь, чтобы найти значения сопротивления, потребляемой мощности, действующего значения тока и напряжения, мы должны раскрыть скобки и провести соответствующие вычисления.

Выполним эти действия для каждого из параметров:

1. Значение сопротивления:
Сопротивление $R$ определено как отношение напряжения к току в цепи в стационарном состоянии:
$$R=\frac{U_{\text{амп}}}{I_{\text{амп}}}=\frac{50}{2.7}\text{Ом}$$

2. Потребляемая мощность:
Потребляемая мощность $P$ в активном сопротивлении определяется как произведение напряжения и действующего значения тока:
$$P=U_{\text{амп}}\cdot I_{\text{действ}}=50\cdot 2.7\cdot \cos (\varphi )\text{Вт}$$

где $\varphi$ - разность фаз между током и напряжением.

3. Действующее значение тока:
Действующее значение тока $I_{\text{действ}}$ определяется как амплитуда тока, деленная на $\sqrt{2}$:
$$I_{\text{действ}}=\frac{I_{\text{амп}}}{\sqrt{2}}=\frac{2.7}{\sqrt{2}}\text{А}$$

4. Действующее значение напряжения:
Действующее значение напряжения $U_{\text{действ}}$ определяется как амплитуда напряжения, деленная на $\sqrt{2}$:
$$U_{\text{действ}}=\frac{U_{\text{амп}}}{\sqrt{2}}=\frac{50}{\sqrt{2}}\text{В}$$

Таким образом, значения сопротивления, потребляемой мощности, действующего значения тока и напряжения для данной цепи с активным сопротивлением определены следующим образом:

Сопротивление: $R=\frac{50}{2.7}\text{Ом}$ \
Потребляемая мощность: $P=50\cdot 2.7\cdot \cos (\varphi )\text{Вт}$ \
Действующее значение тока: $I_{\text{действ}}=\frac{2.7}{\sqrt{2}}\text{А}$ \
Действующее значение напряжения: $U_{\text{действ}}=\frac{50}{\sqrt{2}}\text{В}$

Эти значения могут помочь нам более полно понять поведение данной цепи переменного тока.