Какие значения сопротивления, потребляемой мощности, действующего значения тока и напряжения в цепи с активным

Сабина_4847

70

Данная задача связана с анализом цепей переменного тока. Для того чтобы определить значения сопротивления, потребляемой мощности, действующего значения тока и напряжения в данной цепи, нам понадобятся преобразования комплексных чисел.

Мы знаем, что мгновенное значение тока задано как \(i = 2.7 \cdot \sin(\omega t + \frac{\pi}{3}) \, \text{А}\), а напряжение меняется в соответствии с законом \(u = 50 \cdot \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})\), где \(\omega\) - угловая частота и \(t\) - время.

Для решения задачи, нам необходимо преобразовать выражения для тока и напряжения в комплексную форму используя формулу Эйлера:

\[\sin(\theta) = \frac{e^{j\theta} - e^{-j\theta}}{2j}\]

Для этого, заменим угловую частоту \(\omega\) на \(2\pi f\), где \(f\) - частота, а затем введем комплексные переменные для тока и напряжения:

\[i(t) = \text{Im}\{Ie^{j\omega t} \} \quad \text{и} \quad u(t) = \text{Im}\{Ue^{j\omega t} \}\]

где \(I\) и \(U\) - комплексные амплитуды тока и напряжения соответственно.

Теперь, заменим синус на экспоненту в заданных выражениях и получим:

\[i(t) = \frac{2.7}{2j} \left( e^{j(\omega t + \frac{\pi}{3})} - e^{-j(\omega t + \frac{\pi}{3})} \right) \, \text{А}\]

\[u(t) = \frac{50}{2j} \left( e^{j(\omega t + \frac{\pi}{3})} - e^{-j(\omega t + \frac{\pi}{3})} \right) \, \text{В}\]

Теперь, чтобы найти значения сопротивления, потребляемой мощности, действующего значения тока и напряжения, мы должны раскрыть скобки и провести соответствующие вычисления.

Выполним эти действия для каждого из параметров:

1. Значение сопротивления:
Сопротивление \(R\) определено как отношение напряжения к току в цепи в стационарном состоянии:
\[R = \frac{U_{\text{амп}}}{I_{\text{амп}}} = \frac{50}{2.7} \, \text{Ом}\]

2. Потребляемая мощность:
Потребляемая мощность \(P\) в активном сопротивлении определяется как произведение напряжения и действующего значения тока:
\[P = U_{\text{амп}} \cdot I_{\text{действ}} = 50 \cdot 2.7 \cdot \cos(\phi) \, \text{Вт}\]

где \(\phi\) - разность фаз между током и напряжением.

3. Действующее значение тока:
Действующее значение тока \(I_{\text{действ}}\) определяется как амплитуда тока, деленная на \(\sqrt{2}\):
\[I_{\text{действ}} = \frac{I_{\text{амп}}}{\sqrt{2}} = \frac{2.7}{\sqrt{2}} \, \text{А}\]

4. Действующее значение напряжения:
Действующее значение напряжения \(U_{\text{действ}}\) определяется как амплитуда напряжения, деленная на \(\sqrt{2}\):
\[U_{\text{действ}} = \frac{U_{\text{амп}}}{\sqrt{2}} = \frac{50}{\sqrt{2}} \, \text{В}\]

Таким образом, значения сопротивления, потребляемой мощности, действующего значения тока и напряжения для данной цепи с активным сопротивлением определены следующим образом:

Сопротивление: \(R = \frac{50}{2.7} \, \text{Ом}\) \\
Потребляемая мощность: \(P = 50 \cdot 2.7 \cdot \cos(\phi) \, \text{Вт}\) \\
Действующее значение тока: \(I_{\text{действ}} = \frac{2.7}{\sqrt{2}} \, \text{А}\) \\
Действующее значение напряжения: \(U_{\text{действ}} = \frac{50}{\sqrt{2}} \, \text{В}\)

Эти значения могут помочь нам более полно понять поведение данной цепи переменного тока.