Какие значения t приведут к тому, что все точки графика функции y=tx^2-4x-t будут находиться выше?

Барон_7195

37

Чтобы понять, какие значения \( t \) приведут к тому, что все точки графика функции \( y = tx^2 - 4x - t \) будут находиться выше, нам необходимо проанализировать, при каких условиях график функции лежит выше оси \( x \).

Первым шагом давайте вспомним, что график функции \( y = tx^2 - 4x - t \) представляет собой параболу вида \( ax^2 + bx + c \), где \( a = t \), \( b = -4 \), \( c = -t \).

Чтобы узнать, какие значения \( t \) приведут к тому, что график функции будет находиться выше оси \( x \), нам необходимо найти дискриминант этой параболы и проверить его значение.

Дискриминант параболы \( D \) вычисляется по формуле: \( D = b^2 - 4ac \).

В нашем случае \( a = t \), \( b = -4 \) и \( c = -t \), поэтому \( D = (-4)^2 - 4t(-t) = 16 + 4t^2 \).

Теперь рассмотрим условие, при котором все точки графика будут находиться выше оси \( x \). Это условие можно записать в виде \( D > 0 \).

Распишем это неравенство: \( 16 + 4t^2 > 0 \).

Для решения этого неравенства мы можем вынести общий множитель и получим: \( 4(t^2 + 4) > 0 \).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Когда \( t^2 + 4 > 0 \).

В данном случае неравенство всегда выполняется, так как сумма квадрата числа и положительного числа всегда будет положительной. Таким образом, нет ограничений для значений \( t \) в этом случае.

2. Когда \( t^2 + 4 = 0 \).

Решений у этого уравнения нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, в этом случае нет таких значений \( t \), при которых все точки графика функции будут находиться выше оси \( x \).

Таким образом, мы получаем, что все значения \( t \) приведут к тому, что все точки графика функции \( y = tx^2 - 4x - t \) будут находиться выше оси \( x \), кроме случая \( t = 0 \).