Какова вероятность того, что среди 30 детей в детском саду не будет ни одной пары детей, родившихся в один и

Semen

6

Чтобы решить данную задачу, нам потребуется некоторое знание вероятностной теории. Давайте разберемся в подробностях.

Для начала, нужно понять, сколько всего возможных комбинаций рождения 30 детей в разные месяцы. Вспомним, что в году 12 месяцев, поэтому у каждого ребенка есть 12 возможных месяцев рождения.

Представим, что у нас есть 30 пустых "ящиков", каждый из которых соответствует одному ребенку. Мы должны разместить каждого ребенка в одном из этих ящиков таким образом, чтобы ни один ящик не содержал двух детей, родившихся в один и тот же месяц. Поскольку каждый ребенок может родиться в любом из 12 месяцев, у нас есть 12 возможных вариантов для каждого ящика.

Теперь выполним следующий шаг: расчет всех возможных комбинаций рождения 30 детей в разные месяцы. Для этого используем формулу комбинаторики "размещение с повторениями". Обозначим эту формулу как \(A_n^k\), где \(n\) - количество детей (30), а \(k\) - количество ящиков (12). Формула для размещения с повторениями имеет вид:

\[A_n^k = k^n\]

Подставим значения:

\[A_{30}^{12} = 12^{30}\]

Таким образом, у нас есть \(12^{30}\) возможных комбинаций рождения 30 детей в разные месяцы.

Теперь перейдем ко второму шагу: определению количества комбинаций, в которых все 30 детей имеют разные даты рождения. Вначале первый ребенок может быть рожден в любом месяце (12 возможных вариантов), второй - уже в 11 месяцах (11 возможных вариантов), третий - в 10 месяцах (10 возможных вариантов), и так далее, пока мы не родим последнего ребенка в последнем доступном месяце (только 1 возможный вариант).

Итак, общее количество таких комбинаций можно найти, перемножив количество возможных вариантов каждого ребенка:

\[12 \times 11 \times 10 \times \dots \times 2 \times 1\]

Это равно \(12!\), где символ "!" обозначает факториал. Прямо сейчас подсчитаем это значение:

\[12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Итак, у нас есть \(12!\) комбинаций, в которых все 30 детей имеют разные даты рождения.

Теперь, чтобы найти вероятность того, что все 30 детей имеют разные даты рождения, мы должны разделить количество комбинаций с разными датами на общее количество комбинаций:

\[\text{Вероятность} = \dfrac{\text{Количество комбинаций с разными датами}}{\text{Общее количество комбинаций}} = \dfrac{12!}{12^{30}}\]

Вычислим это значение:

\[\text{Вероятность} = \dfrac{12!}{12^{30}} \approx 0.00000009\]

Таким образом, вероятность того, что среди 30 детей в детском саду не будет ни одной пары детей, родившихся в один и тот же месяц, составляет примерно \(0.00000009\) или \(0.000009\% \).

Убедитесь, что разница между английским «!» факториалом и русским «!» делителем очевидна: \(12!\) и \(\dfrac{12}{30}\)