Какие значения величины d будут приводить к уменьшению интенсивности света в фокусе вдвое по сравнению с отсутствием

Сумасшедший_Рейнджер

7

Хорошо, пошагово рассмотрим решение задачи.

Для начала, нам понадобятся некоторые базовые знания о волновой оптике. При прохождении света через уступ на пластинке происходит интерференция волн. Интерференция происходит, когда две или более волн перекрываются друг с другом и создают области усиления и ослабления. Эти области зависят от разности хода волн.

Для нашей задачи, мы хотим найти значение длины уступа \(d\), при котором интенсивность света в фокусе пластинки уменьшается вдвое по сравнению с отсутствием уступа.

Для начала, нам понадобится формула, описывающая разность хода волн при прохождении через уступ на пластинке:

\(\Delta x = 2d \cdot \sin(\theta)\),

где \(d\) - длина уступа, \(\theta\) - угол падения света на пластинку.

Затем нам понадобится формула для интенсивности света в фокусе пластинки:

\(I = I_0 \cdot \cos^2 \left(\frac{\pi \cdot \Delta x}{\lambda} \right)\),

где \(I_0\) - начальная интенсивность света, \(\lambda\) - длина волны света.

Мы хотим найти значение уступа \(d\), при котором интенсивность света в фокусе уменьшается вдвое. Это означает, что \(I = \frac{1}{2} I_0\).

Подставим значение \(\Delta x\) в формулу интенсивности и приравняем ее к \(\frac{1}{2} I_0\):

\(\frac{1}{2} I_0 = I_0 \cdot \cos^2 \left(\frac{\pi \cdot 2d \cdot \sin(\theta)}{\lambda} \right)\).

Упростим это уравнение:

\(\cos^2 \left(\frac{2\pi d \sin(\theta)}{\lambda}\right) = \frac{1}{2}\).

Заметим, что \(\cos^2(x) = \frac{1}{2}\) имеет решения при \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}\), где \(m = 0, 1, 2, \ldots\).

Подставим \(x = \frac{2\pi d \sin(\theta)}{\lambda}\) и решим полученное уравнение для \(d\):

\(\frac{2\pi d \sin(\theta)}{\lambda} = \frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}\).

Разрешим это уравнение для \(d\):

\[d = \frac{\lambda}{2\pi \sin(\theta)} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}\right),\]

где \(m = 0, 1, 2, \ldots\).

Таким образом, значения длины уступа \(d\), при которых интенсивность света в фокусе пластинки уменьшается вдвое по сравнению с отсутствием уступа, задаются формулой

\[d = \frac{\lambda}{2\pi \sin(\theta)} \left(\frac{\pi}{4} + \frac{m\pi}{2}\right),\]

где \(m = 0, 1, 2, \ldots\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи.