Какие значения x следует исследовать для определения экстремумов функции f(x)=x^2-x?

Мистический_Подвижник

42

Чтобы найти экстремумы функции \(f(x) = x^2 - x\), мы должны понять, когда производная функции равна нулю или не существует. Это позволит нам определить значения \(x\), которые следует исследовать.

1. Вычисление производной функции:
Рассмотрим функцию \(f(x) = x^2 - x\). Чтобы найти производную \(f"(x)\) функции \(f(x)\), возьмем производную каждого члена по отдельности и применим правила дифференцирования:
\[f"(x) = (2x) - (1) = 2x - 1\]

2. Равенство производной нулю:
Чтобы найти значения \(x\), при которых производная равна нулю, решим уравнение \(2x - 1 = 0\):
\[2x - 1 = 0\]
\[2x = 1\]
\[x = \frac{1}{2}\]

3. Проверка на существование производной:
Теперь проверим, существует ли производная \(f"(x)\) в точке \(x = \frac{1}{2}\). Чтобы это сделать, мы можем рассмотреть левосторонний и правосторонний пределы \(f"(x)\), когда \(x\) приближается к \(\frac{1}{2}\):
\[\lim_{{x \to \frac{1}{2}}} f"(x) = \lim_{{x \to \frac{1}{2}}} (2x - 1) = (2 \cdot \frac{1}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0\]

Поскольку пределы сходятся, производная \(f"(x)\) существует в точке \(x = \frac{1}{2}\).

Итак, для определения экстремумов функции \(f(x) = x^2 - x\), следует исследовать значение \(x = \frac{1}{2}\). Это значение является стационарной точкой функции, где производная равна нулю. Также убедитесь в дополнительной проверке для понимания, что это является точкой минимума или максимума.