Какие значения x удовлетворяют условию -3π/2 ≤ x ≤ π и уравнению sin 3x = √3/2? Можно полносью детально решить

Ignat

44

Дано уравнение \(\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и неравенство \(-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \pi\).
Для решения этой задачи, мы сначала найдем все значения \(x\), которые удовлетворяют заданному уравнению, а затем будем проверять, соответствуют ли найденные значения \(x\) условию неравенства.

1. Найдем значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

Для начала, нам нужно найти угол, значение синуса которого равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Возьмем обратный синус от \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[\arcsin \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\]

Мы получили одно значение угла, но у нас есть промежуток \(0 \leq x \leq 2\pi\), поэтому мы можем найти другие значения угла, добавляя к \(\frac{\pi}{3}\) целое число окружностей \(2\pi\).
Итак, можем записать:

\[3x = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot n, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}\]

Решим уравнение относительно \(x\):

\[x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} \cdot n, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}\]

Таким образом, мы нашли бесконечное количество значений \(x\), удовлетворяющих уравнению.

2. Теперь проведем проверку всех полученных значений \(x\) на условие неравенства \(-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \pi\):

У нас есть два ограничения: \(-\frac{3\pi}{2} \leq x\) означает, что \(x\) должно быть больше или равно \(-\frac{3\pi}{2}\), и \(x \leq \pi\) означает, что \(x\) должно быть меньше или равно \(\pi\).

Рассмотрим первое ограничение:

\(-\frac{3\pi}{2} \leq x\)

Подставим найденные значения \(x\) из предыдущего пункта и проверим их:

- Для \(n = 0\): \(\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} \cdot 0 = \frac{\pi}{9}\)
Здесь значение \(x = \frac{\pi}{9}\) удовлетворяет неравенству.

- Для \(n = 1\): \(\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} \cdot 1 = \frac{7\pi}{9}\)
Здесь значение \(x = \frac{7\pi}{9}\) также удовлетворяет неравенству.

- Продолжим в том же духе и проверим другие значения \(x\): \(\frac{13\pi}{9}, \frac{19\pi}{9}, \ldots\)

Все полученные значения \(x\) удовлетворяют условию \(-\frac{3\pi}{2} \leq x\).

Теперь рассмотрим второе ограничение:

\(x \leq \pi\)

Подставим значение \(x\) и проверим его:

- Для \(n = 0\): \(\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} \cdot 0 = \frac{\pi}{9}\)
Здесь значение \(x = \frac{\pi}{9}\) удовлетворяет неравенству.

- Для \(n = 1\): \(\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} \cdot 1 = \frac{7\pi}{9}\)
Здесь значение \(x = \frac{7\pi}{9}\) также удовлетворяет неравенству.

- Продолжим в том же духе и проверим другие значения \(x\): \(\frac{13\pi}{9}, \frac{19\pi}{9}, \ldots\)

Все полученные значения \(x\) удовлетворяют условию \(x \leq \pi\).

Таким образом, все значения \(x\), которые удовлетворяют заданному уравнению \(\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и неравенству \(-\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \pi\), являются:

\[x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} \cdot n, \quad \text{где } n \in \mathbb{Z}\].

Для представления решения графически, мы можем использовать единичную окружность и отметить на ней найденные значения \(x\).

[Отрисовка фигуры]

На координатной плоскости с центром в начале координат нарисуем окружность радиусом 1, которую мы будем считать единичной окружностью.

Далее, пометим на окружности точки, соответствующие значениям \(x = \frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}, \frac{19\pi}{9}, \ldots\).
Поскольку значения \(x\) находятся в радианах, мы измеряем угол от начала координат против часовой стрелки.

На графике окружности, найденные точки \(x\) будут расположены равномерно на протяжении одной оборота окружности. Таким образом, мы можем отметить первоначально найденные точки и продолжать их повторять для каждого целого числа \(n\).

Таким образом, решение будет представлено графически на единичной окружности и будет содержать всех значений \(x\), удовлетворяющих уравнению и неравенству.