Каким образом можно доказать, что для любых точек a, b, c, d на плоскости выполняется неравенство ab + bc + cd (знак

Гоша

41

Чтобы доказать, что для любых точек \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) на плоскости выполняется неравенство \(ab + bc + cd \geq ad\), рассмотрим следующее:

Мы можем представить отрезки \(ab\), \(bc\), и \(cd\) в виде векторов. Пусть векторы \(v_{ab}\), \(v_{bc}\), \(v_{cd}\) соответственно представляют отрезки \(ab\), \(bc\), \(cd\) и указывают направление их векторов. Тогда мы можем записать эти отрезки в виде суммы векторов:

\[v_{ab} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\]
\[v_{bc} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}\]
\[v_{cd} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{c}\]

Теперь рассмотрим отрезок \(ad\), который также может быть представлен как:

\[v_{ad} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a}\]

Затем мы можем заметить, что сумма отрезков \(ab\), \(bc\), и \(cd\) равна:

\[v_{ab} + v_{bc} + v_{cd} = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} = v_{ad}\]

Таким образом, мы получаем \(ab + bc + cd = ad\).

Когда это неравенство становится равенством? Это происходит только в том случае, если точки \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) лежат на одной прямой. В этом случае, отрезки \(ab\), \(bc\), \(cd\) и \(ad\) совпадают и равенство \(ab + bc + cd = ad\) выполняется. Если же точки \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) не лежат на одной прямой, то неравенство \(ab + bc + cd > ad\) будет справедливым.

Таким образом, мы доказали, что для любых точек \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) на плоскости выполняется неравенство \(ab + bc + cd \geq ad\), и оно становится равенством только в случае, если точки лежат на одной прямой.