Каким образом можно определить проекции данных векторов?

Milana

36

Для определения проекции векторов мы можем использовать понятие скалярного произведения. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения двух векторов a и b выглядит следующим образом:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos(\theta) \]

где |\mathbf{a}| и |\mathbf{b}| - длины векторов a и b соответственно, и \theta - угол между этими векторами.

Для определения проекции вектора a на вектор b нам необходимо найти вектор p, который будет лежать на линии, параллельной вектору b, и который будет иметь длину равную проекции вектора a на вектор b. Формула для нахождения проекции вектора a на вектор b выглядит следующим образом:

\[ \mathbf{p} = \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{|\mathbf{b}|^2} \cdot \mathbf{b} \]

Давайте проиллюстрируем это на примере. Пусть у нас есть два вектора:

\[
\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}
\]

Шаг 1: Найдем длины векторов a и b:

\[
|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}, \quad |\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}
\]

Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов a и b:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 10
\]

Шаг 3: Найдем проекцию вектора a на вектор b:

\[
\mathbf{p} = \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{|\mathbf{b}|^2} \cdot \mathbf{b} = \frac{10}{\sqrt{20}^2} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \frac{10}{20} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}
\]

Таким образом, проекция вектора a на вектор b равна вектору \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}.

Я надеюсь, что это пошаговое объяснение поможет вам понять, как определить проекции данных векторов.