Каким образом можно переформулировать уравнение sin^2 x/4-cos^2 x/4=-√3/2?

Путешественник_Во_Времени

24

Для начала, давайте разложим данное уравнение, чтобы упростить его и получить более понятную форму. Нам дано уравнение:

\(\frac{{\sin^2 x}}{4} - \frac{{\cos^2 x}}{4} = -\frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Для того чтобы упростить это уравнение, нам понадобятся следующие математические тождества:

1) Тождество суммы и разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
2) Тождество синуса двойного угла: \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\)
3) Тождество косинуса двойного угла: \(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\)

Применим эти тождества к нашему уравнению:

\(\frac{{\sin^2 x}}{4} - \frac{{\cos^2 x}}{4} = \frac{{\sin^2 x - \cos^2 x}}{4} = \frac{{\sin^2 x - (1 - \sin^2 x)}}{4} = \frac{{2\sin^2 x - 1}}{4}\)

Теперь нам нужно выразить \(\sin x\) в терминах других тригонометрических функций. Для этого воспользуемся тождеством синуса двойного угла:

\(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\)

Распишем его:

\(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\)

\(\sin^2 x + \cos^2 x = 2\sin x \cos x\)

\(\sin^2 x = 2\sin x \cos x - \cos^2 x\)

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

\(\frac{{2\sin^2 x - 1}}{4} = -\frac{{\sqrt{3}}}{2}\)

Перемножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

\(2\sin^2 x - 1 = -2\sqrt{3}\)

Теперь добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

\(2\sin^2 x = -2\sqrt{3} + 1\)

И поделим обе стороны на 2:

\(\sin^2 x = \frac{{-2\sqrt{3} + 1}}{2}\)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\(\sin x = \sqrt{\frac{{-2\sqrt{3} + 1}}{2}}\)

Таким образом, мы переформулировали исходное уравнение. Ответ: \(\sin x = \sqrt{\frac{{-2\sqrt{3} + 1}}{2}}\)