Найдите угол, образованный касательной к графику функции y=x^4-2x^3+3 в точке с координатой x0=1/2 и осью

Sverkayuschiy_Dzhentlmen

16

Для начала, нам нужно найти производную функции. Так как данная функция представлена в виде \(y = x^4 - 2x^3 + 3\), мы можем использовать правила дифференцирования для каждого члена функции.

Вычислим производную по каждому члену:
\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (x^4 - 2x^3 + 3)\).

Применим правило дифференцирования для каждого члена:
\(\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (x^4) - \frac{{d}}{{dx}} (2x^3) + \frac{{d}}{{dx}}(3)\).

Дифференцируем каждый член по отдельности:
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 + 0\).

Упростим эту выражение:
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 4x^3 - 6x^2\).

Теперь мы можем найти значение производной в точке \(x_0 = \frac{1}{2}\). Подставим \(x_0\) в выражение для производной:
\(\frac{{dy}}{{dx}}\Bigr|_{x = \frac{1}{2}} = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6\left(\frac{1}{2}\right)^2\).

Упростим эту выражение, чтобы найти значение производной:
\(\frac{{dy}}{{dx}}\Bigr|_{x = \frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1}{8} - 6 \cdot \frac{1}{4}\).

Раскроем скобки и упростим:
\(\frac{{dy}}{{dx}}\Bigr|_{x = \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}\).

Приведём дроби к общему знаменателю:
\(\frac{{dy}}{{dx}}\Bigr|_{x = \frac{1}{2}} = \frac{2}{4} - \frac{3}{4}\).

Вычтем числители:
\(\frac{{dy}}{{dx}}\Bigr|_{x = \frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\).

Таким образом, производная функции в точке \(x_0 = \frac{1}{2}\) равна \(-\frac{1}{4}\).

Касательная к графику функции в заданной точке будет иметь тот же наклон, что и производная в этой точке. То есть, угловой коэффициент \(k\) касательной будет равен значению производной в точке \(x_0\). В нашем случае, \(k = -\frac{1}{4}\).

Таким образом, угол между касательной и осью \(Ox\) будет равен углу, определённому наклоном касательной. Для нахождения этого угла, мы можем использовать тангенс угла. Формула для нахождения угла по тангенсу: \(\tan(\theta) = k\).

Подставим значение \(k = -\frac{1}{4}\) в формулу:
\(\tan(\theta) = -\frac{1}{4}\).

Теперь найдём значение угла \(\theta\). Для этого возьмём арктангенс обоих частей уравнения:
\(\theta = \arctan\left(-\frac{1}{4}\right)\).

Используя значения на основе арктангенса, мы можем вычислить приблизительное значение угла. В данном случае, ответ округлим до двух десятичных знаков:
\(\theta \approx -14.04^\circ\).

Таким образом, угол между касательной и осью \(Ox\) составляет примерно -14.04 градуса.