Каким образом можно решить данную систему уравнений: x^2 + y^2 = 100 и 3x + 2y - 2

Skvoz_Pesok_1053

12

Для решения данной системы уравнений используем метод подстановки. Цель состоит в том, чтобы найти значения переменных \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Шаг 1: Начнем с первого уравнения \(x^2 + y^2 = 100\) и выразим одну из переменных через другую. Для удобства выберем переменную \(y\) и выразим ее через \(x\) следующим образом:

\[y = \sqrt{100 - x^2}\]

Шаг 2: Теперь, когда мы имеем выражение для \(y\) в терминах \(x\), подставим его во второе уравнение \(3x + 2y - 2\) и решим получившееся уравнение относительно \(x\):

\[3x + 2(\sqrt{100 - x^2}) - 2 = 0\]

Теперь решим это уравнение.

Шаг 3: Раскроем скобки в уравнении:

\[3x + 2\sqrt{100 - x^2} - 2 = 0\]

Шаг 4: Изолируем корень, перенеся все остальные слагаемые на другую сторону уравнения:

\[2\sqrt{100 - x^2} = -3x + 2\]

Шаг 5: Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[(2\sqrt{100 - x^2})^2 = (-3x + 2)^2\]

Обратите внимание, что мы можем возвести в квадрат обе части уравнения, поскольку наше исходное уравнение останется верным при возведении в квадрат.

Шаг 6: Упростим получившиеся выражения:

\[4(100 - x^2) = 9x^2 - 12x + 4\]

Шаг 7: Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[400 - 4x^2 = 9x^2 - 12x + 4\]

Шаг 8: Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[0 = 13x^2 - 12x - 396\]

Шаг 9: Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение, найдя его дискриминант и применив формулу корней.

Дискриминант (\(D\)) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, \(a = 13\), \(b = -12\) и \(c = -396\), поэтому:

\[D = (-12)^2 - 4(13)(-396) = 144 + 20544 = 20688\]

Шаг 10: Теперь вычислим корни квадратного уравнения с помощью формулы корней:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

В нашем случае:

\[x_1 = \frac{12 + \sqrt{20688}}{26} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{12 - \sqrt{20688}}{26}\]

Вычислите значения \(x_1\) и \(x_2\) и найдите значения \(y\) с помощью первого уравнения \(x^2 + y^2 = 100\).

Таким образом, чтобы решить данную систему уравнений, нужно найти значения \(x\) и \(y\), равные \(x_1\) и \(y_1\), и значения \(x\) и \(y\), равные \(x_2\) и \(y_2\). Вы можете вычислить эти значения, подставив найденные корни в первое уравнение.